二次方程式の解の公式を習ったとき、その複雑さにド肝を抜かれた人がいることでしょう。

　しかし、公式の暗記は意外と簡単なもの。たくさん問題を解いているうちに勝手に手が動くようになったかと思います。

　じゃあ、なぜあなたは解の公式を用いた二次方程式の計算でミスをしてしまうのか？

　私の塾講師としての経験より、以下のあるあるミス3選を解説します。

• 解の公式にマイナスを代入し忘れる
• 約分ミス
• 分子の計算ミス

　この記事では始めに二次方程式の解の公式を確認したあと、解の公式を用いた計算のあるあるミス3選を解説します。

　この記事を読めば、あなたが二次方程式を解の公式で解くときにミスをしてしまう原因がわかるので、テストや模試・入試での得点UPを目指せます。

そもそも二次方程式『解の公式』を覚えていますか？

　そもそも解の公式を完璧に覚えていますか？

　ドキッとした人は、この場で覚えてしまいましょう。

【解の公式】あるあるミス3選を塾講師が解説

　ここからは塾講師の私が、二次方程式を解の公式で解くときのあるあるミスを3つ解説します。

• 解の公式にマイナスを代入し忘れる
• 約分ミス
• 分子の計算ミス

　これらのミスはみんなが経験していくので、あなたにも当てはまるミスがあるはずです！

①解の公式にマイナスを代入し忘れる

　解の公式にマイナスを代入し忘れるミスが多い！！　多すぎる！！

　そのミスをしたことのない人は、私が担当した生徒にはいません。

　自分は大丈夫！　って思った？

　それなら、次の問題を解いてみましょう。

　解の公式に、次のように代入していませんか？

　正しくは次のように、b=-3,c=-1と、マイナスごと代入します。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}}$

②約分ミス

　解の公式を用いた二次方程式の計算では、分数の約分がでてきます。

　さて、あなたは次の二次方程式の計算で、正しく約分できるでしょうか？

　まずは普通に、解の公式に代入して計算します。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4×3×(-6)}}{2×3}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{6}$

　ここで、忘れずにルートの中身を出しましょう。

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{19}}{6}$

　ここからが重要です。

　分母の6、分子の-2、$2\sqrt{19}$は全て2で割れるので約分できます。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{3}}$

　ちなみに、次のように分子が『×』で繋がっているときは、約分の仕方が変わります。

③分子の計算ミス

　解の公式に登場する『±』の意味を考えたことはありますか？

　『±』ということは、『+』の数と『-』の数の2つが存在するということ。

　問題によっては『+』の場合と『-』の場合を考えて計算する必要がでてきますが、これもまたミスが多いところです。

　解の公式に代入してみましょう。

　$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4×3×(-2)}}{2×3}$

　$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2×3}$

　$x = \frac{-1 \pm 5}{6}$

　このようにルートが外れて分子が整数になったとき、分子を計算しなければいけません。

　この問題では、$x = \frac{-1 \pm 5}{6}$は$\frac{-1 + 5}{6}$と$\frac{-1 – 5}{6}$の2つがあります。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{2}{3} , -1}$

【塾講師は見た】解の公式はみんな同じミスをする！

　解の公式で解く二次方程式って、公式の複雑さにみんなビビる割には、結構できるようになるんですよ。

　でもね、上に挙げたようなミスをして、テストで減点をくらっているのです。

　それって！　それっっっっって！　ちょおおおおおおおおおおもっっっったいない！！！

　正直ね、マイナスを代入し忘れるとか、約分、分子の計算ミスとか、そういうのって『数学のやり慣れてなさ』から来るんです。

　それは中学生や高校生なら、じゅうぶん起こりうるミス。

　だから、たかが計算ミスと思わず、自分のミスの原因をちゃんと見て、少しずつ改善していってほしいなと、塾の先生は思います。

まとめ『二次方程式の解の公式あるあるミス3選』

　解の公式を用いた二次方程式の計算は、計算問題自体だけでなく、入試によく出る二次関数の問題を解くときにも使います。

　二次方程式は数学の基礎です。この機会に、しっかりとマスターしておきましょう。

　循環小数を分数で表す方法は少し変わっているので、時間が経つと忘れてしまいますよね。

　久しぶりに循環小数に出会ったときには毎回、検索をしてしまう人がいるのではないでしょうか。

循環小数の、数字の上の点ってなんて意味だっけ？

　この記事では初めに循環小数の表し方を見ていきます。

　あなたが忘れがちな、循環小数の上の点についても解説しています。

　その後で循環小数を分数で表す方法を3ステップにまとめて解説します。

　最後に循環小数を分数で表す問題演習を用意しているので、この記事を読めば循環小数を分数で表す方法の基礎が身につきます！

循環小数の表し方

　まずは循環小数の表し方をみていきましょう。

　以下の循環小数を例にして解説します。

　循環小数の循環する部分には、『・』がついてます。

$0.\dot{1}2\dot{3}$って、1と3にしか『・』がついてないけど、

$0.123123123・・・$って『123』が循環してるんだね

　『・』は2つまでしか使いません。

　3つ以上の数が循環することを表すには、$0.\dot{1}2\dot{3}$のように最初と最後の数にだけ『・』をつけます。

【3ステップ】循環小数を分数に直す方法

　ここからは循環小数を分数に直す方法を解説します。

　以下の例題を用いて、詳しく解説します。

【STEP1】循環小数をxとおく

　まずは循環小数を『・』を使わずに表し、$x$とおきます。

$0.\dot{3}=0.333333・・・$

だね！

　$\color{red}{x=0.333333・・・}$とおきましょう。

【STEP2】xの$10^n$倍を求める

　次に$x$の$10^n$倍を求めます。

　具体的に言うと、$10x$や$100x$、$1000x$・・・のような数を求めるのです。

$10x$にするか$100x$にするかって、どうやって決めるの？

　10倍や100倍したときに、$x$とおいた数の小数部分と一致するようにします。

　今回は$0.\dot{3}=0.333333・・・$を分数で表したいので、$\color{red}{10x=3.333333・・・}$とします。

【STEP3】$10^nx-x$を求める

　最後に$10x-x$をします。

　以下のように筆算をすると、STEP2で$x=0.333333・・・$と小数部分が一致する$10x=3.333333・・・$を求めた意味がわかるはずです。

$\begin{eqnarray}
10x = 3.\bcancel{333333・・・} \\
\underline{-\phantom{00000}x=0.\bcancel{333333・・・}}\\
9x=3\phantom{00000000000}\\
x=\frac{1}{3}\phantom{0000000000}\\
\end{eqnarray}$

　引き算をすることで、小数部分が消えましたね。

　こうして、$x=\frac{1}{3}$となり、循環小数$0.\dot{3}$を分数で表せました。

そうえいばSTEP1で、$0.\dot{3}$を$x$とおいたね

【問題演習】循環小数を分数に表してみよう

　ここからは、循環小数を分数で表す問題をやってみましょう。

　以下、解説です。

①$0.\dot{2}\dot{8}$

　$0.\dot{2}\dot{8}$を『・』を使わずに表し、$x$とおきます。

　$x=0.282828・・・$

　次に$x$の小数部分と一致するように、$x$を$10^n倍$します。

10倍だと

$10x=2.828282・・・$だから違うね

100倍なら

$100x=28.282828・・・$だから一致！

　最後に$100x-x$をします。

$\begin{eqnarray}
100x=28.282828・・・ \\
\underline{-\phantom{000000}x=0.282828・・・}\\
99x=28\phantom{00000000000}\\
x=\frac{28}{99}\phantom{0000000000}\\
\end{eqnarray}$

　こうして、$\color{red}{x=\frac{28}{99}}$となり、循環小数$0.\dot{2}\dot{8}$を分数で表せました。

②$0.\dot{1}2\dot{3}$

　$0.\dot{1}2\dot{3}$を『・』を使わずに表し、$x$とおきます。

　$x=0.123123123・・・$

　次に$x$の小数部分と一致するように、$x$を$10^n倍$します。

1000倍なら

$1000x=123.123123123・・・$だからOK！

　最後に$1000x-x$をしましょう。

$\begin{eqnarray}
1000x=123.123123123・・・ \\
\underline{-\phantom{000000}x=0.123123123・・・}\\
999x=123\phantom{00000000000}\\
x=\frac{41}{333}\phantom{0000000000}\\
\end{eqnarray}$

　こうして、$\color{red}{x=\frac{41}{333}}$となり、循環小数$0.\dot{1}2\dot{3}$を分数で表せました。

まとめ

　循環小数を分数に直す方法は、少し変わっているので忘れやすいですよね。

　しかし引き算をして小数部分を消すというポイントを押さえて問題演習すれば、記憶に定着しやすくなります。

　今後も頑張って問題演習をしていきましょう。

　数学ⅠAの単元『集合』は、高校で初めて習う内容なので難しいですよね。

　集合を難しくしているのは、次々と出てくる新しい用語や記号。

　さらにド・モルガンの法則などの公式を駆使して解く問題もあるので、集合に苦手意識をもっても無理はありません。

　この記事では、最初に集合に出てくる用語・記号、公式を一覧でまとめています。

　そのあとで、集合に出てくる用語と公式について詳しく解説します。

　必要に応じて図も用意しているので、この記事を読めば集合の基礎知識が整理できます！

集合に出てくる用語・記号と公式の一覧

　集合について学習する上で、押さえておきたい用語と記号をまとめます。

　さらに以下の公式も覚えましょう。

　以下ではそれぞれの用語・記号と公式について、詳しく解説します。

　気になるところがあれば、リンクから飛んでくださいね。

集合に出てくる用語・記号の意味を解説

　ここからは集合に出てくる用語について、意味を解説します。

　さらに用語に対応する記号も紹介します。

①集合『$A=\{1,2,3\}$』『$A=\{x|1≦x≦3\}$』

　数学における集合とは、数や文字の集まりのことです。

　集合一つ一つには『A』や『B』などと名前が付けられます。

　例えば、集合Aについて1,2,3,4,5が含まれるとしたら、以下の2つの表し方をします。

　集合の表し方は、①のように書き並べる方法と、②のように範囲を表す方法があります。

$A={x|1≦x≦5}$ってどういう意味？

　まずは集合Aに含まれる数を、全て$x$とします。

　そのあとで$x$の範囲を$1≦x≦5$指定し、集合Aには1,2,3,4,5が含まれると言っているのです。

②要素『$1 \in A$,$1 \notin A$』

　集合を構成している一つ一つの数や文字を、要素と呼びます。

　例えば$A=\{1,2,3,4,5\}$の要素は、1と2と3と4と5です。

　要素であることを記号$1 \in A$で表し、要素でないことを$1 \notin A$で表します。

③集合の個数『$n(A)=3$』

　集合の要素の個数を表すには、$\color{red}{n(A)=○○}$と書きます。

　例えば$A=\{1,2,3,4,5,6\}$であれば、要素は6個なので$n(A)=6$と書きます。

④空集合『$\varnothing$』

　数学における集合には、要素が一つもない集合が存在します。

　要素が一つもない集合を空集合といい、記号$\varnothing$で表します。

　例えば集合Aが空集合のとき、$A={\varnothing}$と書きます。

⑤部分集合『$A \subset B$,$A \not \subset B$』

　ある集合の要素が別の集合の要素全てを含むとき、別の集合はある集合の部分集合であるといいます。

　以下の集合Aと集合Bを見てください。

　部分集合について理解を深めるため、以下の例題をやってみましょう。

集合Aの部分集合だから、Aの要素だけをもつ集合を書けばいいんだね

Aの部分集合は、{1}{2}{3}{4}

他には{1,2}{1,3}{1,4}とか……

　まずは解答をまとめます。

　部分集合には元の集合とまったく同じ要素を持つ集合と、空集合があります。

　例題でいう{1,2,3,4}のような、元の集合とまったく同じ要素を持つ集合を真部分集合と言います。

⑥共通部分『$A \cap B$』

　2つ以上の集合があるとき、共通の要素を共通部分といい、　記号$\cap$(キャップ)で表します。

　$A \cap B$の読み方は、『AキャップB』もしくは『AかつB』です。

　共通部分は、図でもイメージできるようにしましょう。

⑦和集合『$A \cup B$』

　2つ以上の集合があるとき、それらの要素を全て集めた集合を和集合と言います。

　和集合は記号$\cup$と表し、読み方は$A \cup Bであれば『AカップB』もしくは『AまたはB』です。

　ポイントは、共通部分は1回だけ書くことです。

　和集合は、図でもイメージできるようにしましょう。

⑧全体集合『$U$』

　全体集合とは、問題に出てくるすべての数や文字を集めた集合です。

全体集合の例

1年2組の男子を集合Aとすると、1年2組全員が全体集合$U$にあたる。

クラスに女子もいるとしたらAに入らないよね？

　集合の要素ではないものを集めた集合は補集合と言います。

　補集合については、このあとすぐに解説します。

⑨補集合『$\overline{ A }$』

　ある集合をAとしたとき、Aに属さない要素を集めた集合を補集合といいます。

補集合の例

全体集合$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

$A=\{1,3,5,7,9\}$のとき、補集合$\overline{ A }$は、

$\overline{ A }=\{2,4,6,8\}$

図で表すと以下のようになる。

集合に出てくる公式を解説

　ここからは集合に出てくる公式を解説します。

①ド・モルガンの法則

　ド・モルガンの法則は、以下の2種類があります。

　ド・モルガンの法則を使えば、$ \overline{ A } \cup \overline{ B }$と$ \overline{ A } \cap \overline{ B }$を簡単に求められるのです。

　ド・モルガンの法則より$\overline{ A\cap B } = \overline{ A } \cup \overline{ B }$です。

　よって$\overline{ A } \cup \overline{ B }$を求めたければ、$\overline{ A\cap B }$を求めればよいのです。

②和集合の個数

　和集合の個数を求めるには、以下の計算をします。

n(A)+n(B)じゃだめなの？

　単にAとBの要素の個数を足しただけだと、AかつBの要素を2回数えてしまいます。

　よって、AかつBの要素を1回分ひかなければならないのです。

イメージしずらいな……

　集合の個数ではイメージしづらい人は、要素を全て書き並べて考えてみましょう。

和集合の個数を求める例

$A=\{1,2,3,4,5\}$

$B=\{2,4,6,8,10\}$

$A \cup B$の要素を求めるには、$A \cap B$を1回分消さなくてはいけない。

下の画像より、$A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,8,10\}$

　以上のように、和集合を求めるためには単に集合の個数を足すだけでなく、共通部分を引かなければならないのです。

まとめ

　ここまで、集合に出てくる用語・記号、公式を解説しました。

　聞いたことのない用語や記号がでてきて、混乱してしまうのも無理はありません。

　この記事で習ったことを忘れないよう、学校の問題集などで集合の問題を解いて、知識を定着させましょう。

　内分点のイメージはなんとなくできても、外分点がどんなものかをイメージするのは難しいですよね。

　まずはざっくりと、内分点と外分点を見つけるポイントを紹介します。

　この記事ではまず、内分点の見つけ方と外分点の見つけ方を、図を用いて具体的に解説します。

　また、内分点と外分点を見つけるのはある程度慣れも必要です。

　記事の後半では問題演習も用意しているので、ぜひ挑戦していってくださいね。

内分点・外分点を見つけるポイントを解説

　ここからは内分点と外分点を見つけるポイントを解説します。

　以下で詳しく解説します。

内分点の見つけ方

　ABを内分する点なので、点PはABの内側にあります。

　ABを2:3に内分するということは、AP:BP=2:3になるようにすればOKです。

Aに近い方が2で、Bに近い方が3ってことだね

外分点の見つけ方

　まずはもう一度、外分点を見つけるポイントを確認します。

　①について。

　点QはCDを2:3に外分する点です。

　よってCを起点として2だけ戻り、3だけ進んでDに着く場所に点Qがあるということです。

　②について。

　EFを3:1に外分するということは、Eを起点として3だけ進み、1だけ戻ってFに着くということです。

【問題演習】内分点・外分点を見つける

　ここまでで習ったことが定着するよう、内分点と外分点を見つける問題をやってみましょう。

　①について。

　点Pは、Aに近い方が4、Bに近い方が5の位置にあります。

　②について。

　点Qは外分点。

　よって点Qは、Cを起点として7だけ左に進み、3だけ戻ってDに着く場所にあります。

まとめ

　内分点・外分点の作図ができるようになると、内分点・外分点の座標を求めるときに役立ちます。

　作図のやり方を忘れないよう、必ず復習してくださいね。

　内分点・外分点の座標を求める公式って、分数だから覚えづらいですよね。

　特に外分点の方は、マイナスの記号までついているのでより複雑です。

簡単に覚える方法ないかなー

　あなたに朗報です。

　内分点・外分点の座標を求める公式は覚えなくていいです！

　以下の3ステップで、公式を覚えなくても内分点・外分点の座標を求められます。

　この記事では内分点・外分点の座標を求める3ステップを、例題を用いて具体的に解説します。

　その後で内分点・外分点の座標を求める問題演習を行い、3ステップを踏まえた解き方を練習します。

内分点・外分点の座標を求める3ステップ

　内分点・外分点の座標を求める3ステップは以下です。

• 図を描く
• 外分なら比の小さい方にマイナスをつける
• 分母は比の和、分子は比と座標の積

　この後は例題を用いて、内分点・外分点の座標を求めるポイントを具体的に解説します。

①図を描く

　内分点、外分点の座標を求めるポイントの中で、図を描くことが一番重要です。

　この図を元にしてポイント②とポイント③の操作をし、内分点、外分点の座標を求めます。

　図の描き方を忘れてしまった人は、以下の記事も参考にしてくださいね。

②外分なら比の小さい方にマイナスをつける

　次は、外分の図の方だけ操作をします。

　比の小さい方にマイナスを付けましょう。

　外分点の座標を求める公式には、マイナスがついていましたよね。

　この図で比の小さい方にマイナスをつければ、公式のマイナスを再現できます。

③分母は比の和、分子は比と座標の積

　ここでいよいよ、内分点と外分点を求める計算をします。

　内分点と外分点を求める公式は、分母が比の和、分子は比と座標の積でした。

比と座標の積ってどうやって求めるの？

　以下の図で、比と座標をたすき掛けするようにかけ算すればOKです。

　このようにたった3ステップで、公式を覚えなくても内分点と外聞点の座標を求められます。

　答え『P(4,5)、Q(-1,5)』

【問題演習】内分点・外分点の座標を求める

　内分点・外分点の座標を求める3ステップを踏まえて、問題を行いましょう。

　まずはステップ①図を描きます。

　次はステップ②外分の小さい方の比にマイナスをつけます。

問題②は外分だから、『2:1』の1にマイナスをつけるんだね

　最後はステップ③分母は比の和、分子は比と座標の積を求めます。

　以上より答えは、P(4,7)、Q(15,14)

まとめ

　内分点と外分点の座標を求める公式は、分数だったりマイナスがついたりと複雑なので、丸暗記しようとすると大変です。

　しかしこのように図を描いてしまえば、あとは感覚的に問題を解けるようになります。

　ぜひこの記事で習ったことを、テストや受験で活かしてください！

　たすき掛けの因数分解は、正解の組合わせを見つけるのが大変ですよね。

　何パターンも組合わせを試してもなかなか正解にたどり着かない時のイライラは、私も何度も経験しています。

　実はたすき掛け因数分解で、組合わせを早く見つける方法があるのです！

そう言われてもわかんないなー……

　ピンと来ない人でも大丈夫です。後で詳しく解説します。

　この記事ではたすき掛けの因数分解で組合わせを早く見つける方法2つを、例題を用いて具体的に解説します。

　たすき掛けの因数分解ってそもそもどうやるんだっけ？　という人のために、最初にたすき掛けの因数分解のやり方を解説するので安心して読んでくださいね。

たすき掛け因数分解のやり方を確認

　そもそもたすき掛けの因数分解ってどうやるんだっけ？　というあなたのために、まずはその基本的なやり方を説明します。

　たすき掛けのやり方は大丈夫！　という人は読み飛ばして構いません。

　初めからたすき掛けの組合わせを早く見つける方法を読んでOKです。

　以下、例題を用いて具体的に解説します。

　まずは①かけ算したら$x^2$の係数と定数項になる数を縦に並べます。

$x^2$の係数は2で、定数項は3だね

　かけ算して2になるのは1×2で、3になるのは1×3です。

　これを縦に並べると、以下の2パターンの図ができます。

　そして②ななめにかけ算してその和を求め、$x$の係数になったら成功です。

　最後は③左側に$x$をつければ終わりです。

　よって答えは、$\color{red}{2x^2+5x+3=(x+1)(2x+3)}$

たすき掛け因数分解の組合わせを早く見つける方法2つ

　ここからは、たすき掛けの因数分解の組合わせを早く見つける方法を解説します。

　以下の例題を用いて、図を用いながら詳しく解説します。

①たすき掛けの左側は固定する

　因数分解の組合わせを見つけるとき、あなたは同じ組合わせまで試していませんか？

　たすき掛けの組合わせを見つけるときに左側まで変えてしまうと、同じ組合わせができてしまいます。

$x^2$の係数は3だから、1×3

定数項は-6だから……

　早く正しい組合わせを見つけるために、左側は固定して考えましょう。

②マイナスを一旦考えずに組合わせを作る

　左側を固定したとしても、まだまだ組合わせのパターンが多いですよね。

　そこで、マイナスの数は一旦考えないで、組合わせを作りましょう。

　マイナスを考えないとかなり組合わせの数が減るので、さらに正しい組合わせを見つけやすくなります！

でも定数項を-6にするためには、マイナスが必要だよね？

　どうやってマイナスを付けるかは、たすき掛けの積の和に注目して考えます。

　この問題では、和が-7になればよいのです。

　(1×3)と(3×2)の組合わせだと以下のようになります。

　たすき掛けの積が9と2になりますよね。

　9と2を使って-7にするには、9にマイナスがつけばいいですよね。

　よって、(3×2)の3にマイナスをつければ、-7を作れます。

　このように、マイナスは後で付ける方が正しい組合わせを見つけやすいのです。

　よって答えは、$\color{red}{3x^2-7x-6=(x-3)(3x+2)}$

まとめ

　たすき掛けの因数分解で組合わせを早く見つける方法は、確かに存在します。

　ここで紹介した方法を暗記しただけでも、たすき掛けの因数分解のやりやすさはかなり変るはずです。

　しかし、テクニックを知っているだけでは計算スピードは頭打ちになってしまいます。

　ここで読んだことを身につけるためにも、たすき掛けの因数分解の問題演習をたくさん行いましょう。

　そして計算方法を体に染みこませ、この記事の内容を自分のものにしましょう！

なんで最大公約数は因数の指数の小さい方で、最小公倍数は因数の指数の大きい方をかけるの？

　素因数分解を用いて最小公倍数と最大公約数を求められる理由を知るにはまず、最大公約数と最小公倍数とは何かを正しく理解する必要があります。

　要点を読んでもよく分からなかった人はぜひ、このまま記事を読み進めてください。

　この記事ではまず、最小公倍数と最大公約数の意味を正しく理解できるよう解説します。

　その後で、最大公約数は因数の指数の小さい方で、最小公倍数は大きい方をかけて求められる理由を例題を用いて解説します。

最小公倍数と最大公約数の意味をしっかり理解

　最小公倍数と最大公約数とは何かと聞かれたら、きっとあなたは以下のように答えるでしょう。

最小公倍数は、2つの数に共通する倍数の中で、一番小さい数！

最大公約数は、2つの数に共通する約数の中で、一番大きい数。

こんなの小学校で習ったよ！

　最小公倍数と最大公約数を素因数分解で求める方法を理解するには、最小公倍数と最大公約数の意味をもう少し踏み込んで理解する必要があります。

　特に、最小公倍数は倍数なので、2つの数のどちらでも割り切れることを押さえておきましょう。

最小公倍数と最大公約数を素因数分解で求められる理由

　ここからは例題を用いて、素因数分解を用いて最小公倍数と最大公約数を求められる理由を解説します。

　特に、最大公約数は指数の小さい方で、最小公倍数は指数の大きい方をかける理由がよくわかりますよ。

　36と60を素因数分解すると以下のようになります。

　この例題を用いて、最大公約数は指数の小さい方で、最小公倍数は指数の大きい方をかける理由を解説します。

最大公約数の求め方

　まずは最大公約数の求め方を見ていきましょう。

最大公約数は、2つの数に共通する約数の中で一番大きい数だね

　最大公約数を求めるには、36と60に共通する素因数だけを残します。

　共通する素因数は、2が2つと3が1つです。

　3を1つだけかけるということは、36と60を素因数分解した数の指数が小さい方をかけることと同じです。

最小公倍数の求め方

　次は最小公倍数の求め方を見ていきます。

最小公倍数は、2つの数のどちらでも割り切れる数！

　最小公倍数は36と60の2つで割り切れるためには、36と60のもつ素因数をすべて含むようにしなくてはいけません。

　よって、最小公倍数を作るには2が2つ、3が2つ、5が1つ必要です。

　3を2かけるということは、36と60を素因数分解した数の指数が大きい方をかけることと同じです。

　また5をかけるということは、36の素因数には$5^0$、60の素因数には$5^1$があるため、指数の大きい$5^1$をかけたと考えます。

まとめ

　最小公倍数は指数の大きい方、最大公約数は指数の小さい方……と丸暗記していると、解き方を忘れてしまいます。

　そもそも最小公倍数、最大公約数とはなんなのかを理解した上で、それらを素因数分解を用いて求める方法を覚えましょう。

　円順列の公式って不思議ですよね。

なんでnから1を引くんだろう？

　円順列の公式が(n-1)!である理由を一言で言うと、n個分のダブりをなくすため。

　単にn!を計算すると、数える必要のないパターンまで数えてしまうのです。

　n!と言えば円順列ではなく順列。円順列の公式を理解するには、円順列と順列の違いを知らなくてはいけません。

　この記事では円順列の公式が(n-1)!になる理由を、具体例を用いて解説します。

　まずはざっくりと円順列の公式が(n-1)!になる理由を解説したあと、より一層理解できるように円順列と順列の違いを解説します。

　最後に、円順列の公式がどうやってできているのかをnを用いて解説し、公式を導きます。

　この記事を読めば円順列と順列の違いから円順列の公式を理解でき、『ダブりをなくす』という発想を身につけられます。

　この発想は今後の『場合の数』の学習で大いに役立つので、ぜひ最後まで読んでください。

【ざっくり】円順列の公式が(n-1)!なのは『n個分のダブりをなくすため』

　円順列の公式が(n-1)!である理由を、まずはざっくり解説します。

　この問題では4人を座らせるからn=4ですね。

　円順列の公式を知らない状態なら、4!通りだと思うでしょう。

　しかし実際は円順列の公式(n-1)!に則り、(4-1)!=3!通りになります。

　順列は4!なのに、なぜ円順列だと1減って3!になるのか。

　実は円順列だと、座る人数=nパターンのダブりが生じてしまうのです。

　なぜダブるのかは、この後の『円順列と順列の違い』で詳しく解説します。

　この問いでは4人座っているので、4パターンのダブり。

　だから4で割ります。

　$\frac{4!}{4}=\frac{\bcancel{4}\cdot3!}{\bcancel{4}}=3!$

　n=4なら、n-1=3

　円順列の公式は円卓に座っている人数で割った結果、(n-1)!となるのです。

【詳しく】円順列が(n-1)!になる理由を解説

　ここからは円順列が(n-1)!になる理由を具体的に解説します。

　円順列を理解するには、円順列と順列の違いを理解していることが不可欠なので、まずはそれを解説します。

　その後で具体例を一般化し、なぜ円順列の公式が(n-1)!になるのかをｎを用いて導いていきます。

円順列と順列の違い『円順列はnパターンがダブる』

　円順列の公式【ざっくり解説】では、円順列では順列と同じ方法で計算するとダブりがでてしまうとお話ししました。

　ここからは円順列と順列の違いを見ていき、円順列ではダブりが出ることを確認します。

　①が順列、②が円順列の問題です。

　まずは①順列の問題を解いていきましょう。

　4人を並べるわけですから、n=4なので当然4!ですよね。

　4人を並べるとき、一番左に立つ人が4通り、その右隣に立つ人が3通り、さらにその右に立つ人が2通り、そして一番右が余った1人が立つから1通りとなる。

　よってAさん、Bさん、Cさん、Dさんの4人を一列に並べるとき、並び方は4×3×2×1=4!通りとなるわけですよね。

　この時、以下のような並び方はそれぞれ区別して考えています。

これは全部違う並び方なんだから、区別するのは当然でしょ！

　一列に並べると全て違う並び方だと思いますよね。

　しかし、この並び順が円になったらどうなるでしょうか？

　ここからは②円順列の問題『4人を円卓に座らせる方法は何通り？』です。

　円順列の公式を知らなければ、n=4のなので、きっと4!通りだと考えるでしょう。

　それの何が問題なのか。

　一列に並べるときは、以上のような並び方を区別しました。

　しかしこの並び順を円形にしたら、これらの区別はなくなります。

　これらは全て向きが違うだけなので、全てABCDの並び順と見なします。

　今回は例としてABCDの順の並び方を挙げましたが、4!分の並び方に対して、4通りのダブりが生じるのです。

　この4!という数は、4人の一列での並び方全パターンの数ですよね。

　よって、円順列では

　$\frac{4!}{4}=\frac{\bcancel{4}\cdot3!}{\bcancel{4}}=3!$

　このように4で割らなければならないので、結果として(n-1)!の計算をすることになるのです。

円順列の公式を作る

　ここまでは具体例を用いて、順列と円順列の違いをみてきました。

　ここからは具体例を一般化していきましょう。

　一旦普通の順列を考えると、n人の並び方はn!通りですね。

　しかし円順列では、順列と同じ計算をするとダブりが生じてしまうのでしたね。

　4人を円卓に座らせた時は、4通りずつダブるのでした。

　つまりn人を円卓に座らせたら、n通りダブるということです。

　よって、n人を円卓に座らせるとき、座り方の場合の数はn!をnで割ることで求められます。

なんで

n!=n・(n-1)!

になるの？

　例えばn=4のとき、

　4!=4・3・2・1になりますよね。

　これを変形すると

　4!=4・3!になります。

　4!では、4よりも1小さい3!の計算が隠れているのです。

　つまりn!には、nよちも1小さい(n-1)!が隠れていると言えます。

まとめ

　円順列の公式を丸暗記することもできますが、なぜこの公式になるんだろう？と疑問に思うことが大切です。

　実は円順列の公式の成り立ちである、ダブりを無くすために割り算をするという発想は、今後の場合の数の学習で大いに役立ちます。

　ダブりを消す、という発想を学ばないまま難しい問題を解こうとすると混乱します。

　円順列を学んだ時点で、ダブりを消す発想を得たあなたはラッキーです！

　ぜひ今後も、なんでも疑問に思うセンスを大事にしてくださいね。

　高校生で習う数学Ⅰでは、絶対値を外す問題がたくさん出てきますよね。

　その中でも複雑なのが、絶対値を外す公式です。

　|x|=a⇒x=±aに始まり、

　|x|>a⇒x<-a,a<xに、|x|<a⇒-a<x<aになる公式は、丸暗記しようとしてもすぐに忘れてしまいますよね。

　実はこの公式は、『|x|=a』『|x|>a』『|x|<a』が何を意味しているのかを押さえれば簡単に理解できます。

　この記事では『|x|=a』『|x|>a』『|x|<a』が何を意味しているのかを理解するため、まずは絶対値とは何かを解説します。

　その後で、絶対値を外す公式(|x|=a,|x|>a,|x|<a)が成り立つ理由を、図を用いて解説します。

【前提知識】絶対値とは0からの距離のこと

　絶対値とは何か、あなたは説明できますか？

　絶対値とは何かを説明できないと、絶対値を外す公式は理解できません！

　まずは絶対値を正しく理解しましょう。

　絶対値は0からの距離です。

　例えば-3の絶対値、つまり-3の0からの距離は『3』ですよね。

　絶対値を考えるときは、以下の図をイメージしましょう、

【図解】絶対値を外す公式が成り立つ理由

　これまでで、絶対値とは0からの距離のことであると確認しました。

　ここからは絶対値を外す公式(|x|=a,|x|>a,|x|<a)がなぜ成り立つのかを解説します。

　この公式は、aにあたる数が正の定数のときのみ使えます。

　例えばaにあたる数が3xなどの変数のときは、この公式は使えないので注意です！

①|x|=a『xの0からの距離はaである』

　絶対値とは0からの距離のことでしたね。

　つまり|x|=aが意味するのは、xの0からの距離はaであるということです。

　0からの距離がaである数は、aと-aが該当しますよね。

　以上より、|x|=a⇒x=±aの公式が成り立ちます。

②|x|>a『xの0からの距離がaよりも遠い』

　|x|>aが意味するのは、xの0からの距離がaよりも遠いということです。

　xの0からの距離がaよりも遠い範囲は、以下の図で表せます。

　以上より、|x|>a⇒x<-a,a<xの公式が成り立ちます。

③|x|<a『xの0からの距離がaよりも近い』

　|x|<aが意味するのは、xの0からの距離がaよりも近いということです。

　xの0からの距離がaよりも近い範囲は、以下の図で表せます。

　以上より、|x|<a⇒-a<x<aの公式が成り立ちます。

まとめ

　絶対値を外す公式は、テスト前に丸暗記したとしても受験前には忘れてしまいます。

　しかしこの記事を読んで公式の成り立つ理由を理解したあなたなら、受験前になっても覚えていることでしょう。

　とはいえ定期的な復習は必要なので、テストが終わっても復習を怠らないようにしましょう。

　7個ではありあません！

　正しくは8個です。

　3から10までの整数の個数を求める時、単に『10-3』をするのではなく、『10-3+1』をしなければなりません。

なんでプラス1をしなくちゃいけないの？

　そんな疑問をもっているあなたは、引き算を正しくイメージできていません！

　引き算とは、引かれる数から引く数を取り去る計算です。

　整数の個数を求める時は単に引き算をすると1つの整数を余計に取り去ってしまうので、プラス1をする必要があるのです。

　この記事では整数の個数を求める時にプラス1する理由を聞く前に、まずは引き算を正しくイメージできるよう解説します。

　その後で、整数の個数を求める時にプラス1する理由を詳しくお話します。

【前提知識】引き算とは『引かれる数から引く数を取り去る』こと

　引き算とは何か、あなたは言語化できますか？

　まずは引き算を正しくイメージしましょう。

　以下の例題で解説します。

　この記事を読んでいるあなたなら、答えは7個だと一瞬でわかるでしょう。

10-3=7

だから残りのアメは7個！

　10個のアメの中から3個のアメを食べる。

　つまり10個のアメの中から3個のアメを取り去るということです。

　引き算には、上の図のようなイメージを持ちましょう。

整数の個数を求める時『プラス1』する理由

　これまでで、引き算とは『引かれる数から引く数を取り去る』ことだとお話ししました。

　このイメージをもてたあなたなら、整数の個数の数え方がよくわかるはずです。

　整数の個数を数えるとき単に引き算をしたら、1つの整数を余計に取り去ってしまうため、あとでプラス1をするのです。

　答えは10-3+1=8個です。

　まず、単に10-3をしたらどうなるかを図で見てみましょう。

　3から10までいくつの整数があるかを知りたいのに、10-3をしたら『整数の3』を余計に取り去ってしまいます。

　よって、余計に取り去ってしまった『整数の3』の分を加えるため10-3にプラス1をしなければならないのです。

まとめ

　『整数の個数を求める時はプラス1をする』

　このように丸暗記もできますが、なぜプラス1をするのか理解した方がよいでしょう。

　今後も数学の説き方を丸暗記するのではなく、その原理から理解していきましょう。