二次方程式の解の公式を習ったとき、その複雑さにド肝を抜かれた人がいることでしょう。

　しかし、公式の暗記は意外と簡単なもの。たくさん問題を解いているうちに勝手に手が動くようになったかと思います。

　じゃあ、なぜあなたは解の公式を用いた二次方程式の計算でミスをしてしまうのか？

　私の塾講師としての経験より、以下のあるあるミス3選を解説します。

• 解の公式にマイナスを代入し忘れる
• 約分ミス
• 分子の計算ミス

　この記事では始めに二次方程式の解の公式を確認したあと、解の公式を用いた計算のあるあるミス3選を解説します。

　この記事を読めば、あなたが二次方程式を解の公式で解くときにミスをしてしまう原因がわかるので、テストや模試・入試での得点UPを目指せます。

そもそも二次方程式『解の公式』を覚えていますか？

　そもそも解の公式を完璧に覚えていますか？

　ドキッとした人は、この場で覚えてしまいましょう。

【解の公式】あるあるミス3選を塾講師が解説

　ここからは塾講師の私が、二次方程式を解の公式で解くときのあるあるミスを3つ解説します。

• 解の公式にマイナスを代入し忘れる
• 約分ミス
• 分子の計算ミス

　これらのミスはみんなが経験していくので、あなたにも当てはまるミスがあるはずです！

①解の公式にマイナスを代入し忘れる

　解の公式にマイナスを代入し忘れるミスが多い！！　多すぎる！！

　そのミスをしたことのない人は、私が担当した生徒にはいません。

　自分は大丈夫！　って思った？

　それなら、次の問題を解いてみましょう。

　解の公式に、次のように代入していませんか？

　正しくは次のように、b=-3,c=-1と、マイナスごと代入します。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}}$

②約分ミス

　解の公式を用いた二次方程式の計算では、分数の約分がでてきます。

　さて、あなたは次の二次方程式の計算で、正しく約分できるでしょうか？

　まずは普通に、解の公式に代入して計算します。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4×3×(-6)}}{2×3}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{6}$

　ここで、忘れずにルートの中身を出しましょう。

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{19}}{6}$

　ここからが重要です。

　分母の6、分子の-2、$2\sqrt{19}$は全て2で割れるので約分できます。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{3}}$

　ちなみに、次のように分子が『×』で繋がっているときは、約分の仕方が変わります。

③分子の計算ミス

　解の公式に登場する『±』の意味を考えたことはありますか？

　『±』ということは、『+』の数と『-』の数の2つが存在するということ。

　問題によっては『+』の場合と『-』の場合を考えて計算する必要がでてきますが、これもまたミスが多いところです。

　解の公式に代入してみましょう。

　$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4×3×(-2)}}{2×3}$

　$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2×3}$

　$x = \frac{-1 \pm 5}{6}$

　このようにルートが外れて分子が整数になったとき、分子を計算しなければいけません。

　この問題では、$x = \frac{-1 \pm 5}{6}$は$\frac{-1 + 5}{6}$と$\frac{-1 – 5}{6}$の2つがあります。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{2}{3} , -1}$

【塾講師は見た】解の公式はみんな同じミスをする！

　解の公式で解く二次方程式って、公式の複雑さにみんなビビる割には、結構できるようになるんですよ。

　でもね、上に挙げたようなミスをして、テストで減点をくらっているのです。

　それって！　それっっっっって！　ちょおおおおおおおおおおもっっっったいない！！！

　正直ね、マイナスを代入し忘れるとか、約分、分子の計算ミスとか、そういうのって『数学のやり慣れてなさ』から来るんです。

　それは中学生や高校生なら、じゅうぶん起こりうるミス。

　だから、たかが計算ミスと思わず、自分のミスの原因をちゃんと見て、少しずつ改善していってほしいなと、塾の先生は思います。

まとめ『二次方程式の解の公式あるあるミス3選』

　解の公式を用いた二次方程式の計算は、計算問題自体だけでなく、入試によく出る二次関数の問題を解くときにも使います。

　二次方程式は数学の基礎です。この機会に、しっかりとマスターしておきましょう。

　循環小数を分数で表す方法は少し変わっているので、時間が経つと忘れてしまいますよね。

　久しぶりに循環小数に出会ったときには毎回、検索をしてしまう人がいるのではないでしょうか。

循環小数の、数字の上の点ってなんて意味だっけ？

　この記事では初めに循環小数の表し方を見ていきます。

　あなたが忘れがちな、循環小数の上の点についても解説しています。

　その後で循環小数を分数で表す方法を3ステップにまとめて解説します。

　最後に循環小数を分数で表す問題演習を用意しているので、この記事を読めば循環小数を分数で表す方法の基礎が身につきます！

循環小数の表し方

　まずは循環小数の表し方をみていきましょう。

　以下の循環小数を例にして解説します。

　循環小数の循環する部分には、『・』がついてます。

$0.\dot{1}2\dot{3}$って、1と3にしか『・』がついてないけど、

$0.123123123・・・$って『123』が循環してるんだね

　『・』は2つまでしか使いません。

　3つ以上の数が循環することを表すには、$0.\dot{1}2\dot{3}$のように最初と最後の数にだけ『・』をつけます。

【3ステップ】循環小数を分数に直す方法

　ここからは循環小数を分数に直す方法を解説します。

　以下の例題を用いて、詳しく解説します。

【STEP1】循環小数をxとおく

　まずは循環小数を『・』を使わずに表し、$x$とおきます。

$0.\dot{3}=0.333333・・・$

だね！

　$\color{red}{x=0.333333・・・}$とおきましょう。

【STEP2】xの$10^n$倍を求める

　次に$x$の$10^n$倍を求めます。

　具体的に言うと、$10x$や$100x$、$1000x$・・・のような数を求めるのです。

$10x$にするか$100x$にするかって、どうやって決めるの？

　10倍や100倍したときに、$x$とおいた数の小数部分と一致するようにします。

　今回は$0.\dot{3}=0.333333・・・$を分数で表したいので、$\color{red}{10x=3.333333・・・}$とします。

【STEP3】$10^nx-x$を求める

　最後に$10x-x$をします。

　以下のように筆算をすると、STEP2で$x=0.333333・・・$と小数部分が一致する$10x=3.333333・・・$を求めた意味がわかるはずです。

$\begin{eqnarray}
10x = 3.\bcancel{333333・・・} \\
\underline{-\phantom{00000}x=0.\bcancel{333333・・・}}\\
9x=3\phantom{00000000000}\\
x=\frac{1}{3}\phantom{0000000000}\\
\end{eqnarray}$

　引き算をすることで、小数部分が消えましたね。

　こうして、$x=\frac{1}{3}$となり、循環小数$0.\dot{3}$を分数で表せました。

そうえいばSTEP1で、$0.\dot{3}$を$x$とおいたね

【問題演習】循環小数を分数に表してみよう

　ここからは、循環小数を分数で表す問題をやってみましょう。

　以下、解説です。

①$0.\dot{2}\dot{8}$

　$0.\dot{2}\dot{8}$を『・』を使わずに表し、$x$とおきます。

　$x=0.282828・・・$

　次に$x$の小数部分と一致するように、$x$を$10^n倍$します。

10倍だと

$10x=2.828282・・・$だから違うね

100倍なら

$100x=28.282828・・・$だから一致！

　最後に$100x-x$をします。

$\begin{eqnarray}
100x=28.282828・・・ \\
\underline{-\phantom{000000}x=0.282828・・・}\\
99x=28\phantom{00000000000}\\
x=\frac{28}{99}\phantom{0000000000}\\
\end{eqnarray}$

　こうして、$\color{red}{x=\frac{28}{99}}$となり、循環小数$0.\dot{2}\dot{8}$を分数で表せました。

②$0.\dot{1}2\dot{3}$

　$0.\dot{1}2\dot{3}$を『・』を使わずに表し、$x$とおきます。

　$x=0.123123123・・・$

　次に$x$の小数部分と一致するように、$x$を$10^n倍$します。

1000倍なら

$1000x=123.123123123・・・$だからOK！

　最後に$1000x-x$をしましょう。

$\begin{eqnarray}
1000x=123.123123123・・・ \\
\underline{-\phantom{000000}x=0.123123123・・・}\\
999x=123\phantom{00000000000}\\
x=\frac{41}{333}\phantom{0000000000}\\
\end{eqnarray}$

　こうして、$\color{red}{x=\frac{41}{333}}$となり、循環小数$0.\dot{1}2\dot{3}$を分数で表せました。

まとめ

　循環小数を分数に直す方法は、少し変わっているので忘れやすいですよね。

　しかし引き算をして小数部分を消すというポイントを押さえて問題演習すれば、記憶に定着しやすくなります。

　今後も頑張って問題演習をしていきましょう。

　数学ⅠAの単元『集合』は、高校で初めて習う内容なので難しいですよね。

　集合を難しくしているのは、次々と出てくる新しい用語や記号。

　さらにド・モルガンの法則などの公式を駆使して解く問題もあるので、集合に苦手意識をもっても無理はありません。

　この記事では、最初に集合に出てくる用語・記号、公式を一覧でまとめています。

　そのあとで、集合に出てくる用語と公式について詳しく解説します。

　必要に応じて図も用意しているので、この記事を読めば集合の基礎知識が整理できます！

集合に出てくる用語・記号と公式の一覧

　集合について学習する上で、押さえておきたい用語と記号をまとめます。

　さらに以下の公式も覚えましょう。

　以下ではそれぞれの用語・記号と公式について、詳しく解説します。

　気になるところがあれば、リンクから飛んでくださいね。

集合に出てくる用語・記号の意味を解説

　ここからは集合に出てくる用語について、意味を解説します。

　さらに用語に対応する記号も紹介します。

①集合『$A=\{1,2,3\}$』『$A=\{x|1≦x≦3\}$』

　数学における集合とは、数や文字の集まりのことです。

　集合一つ一つには『A』や『B』などと名前が付けられます。

　例えば、集合Aについて1,2,3,4,5が含まれるとしたら、以下の2つの表し方をします。

　集合の表し方は、①のように書き並べる方法と、②のように範囲を表す方法があります。

$A={x|1≦x≦5}$ってどういう意味？

　まずは集合Aに含まれる数を、全て$x$とします。

　そのあとで$x$の範囲を$1≦x≦5$指定し、集合Aには1,2,3,4,5が含まれると言っているのです。

②要素『$1 \in A$,$1 \notin A$』

　集合を構成している一つ一つの数や文字を、要素と呼びます。

　例えば$A=\{1,2,3,4,5\}$の要素は、1と2と3と4と5です。

　要素であることを記号$1 \in A$で表し、要素でないことを$1 \notin A$で表します。

③集合の個数『$n(A)=3$』

　集合の要素の個数を表すには、$\color{red}{n(A)=○○}$と書きます。

　例えば$A=\{1,2,3,4,5,6\}$であれば、要素は6個なので$n(A)=6$と書きます。

④空集合『$\varnothing$』

　数学における集合には、要素が一つもない集合が存在します。

　要素が一つもない集合を空集合といい、記号$\varnothing$で表します。

　例えば集合Aが空集合のとき、$A={\varnothing}$と書きます。

⑤部分集合『$A \subset B$,$A \not \subset B$』

　ある集合の要素が別の集合の要素全てを含むとき、別の集合はある集合の部分集合であるといいます。

　以下の集合Aと集合Bを見てください。

　部分集合について理解を深めるため、以下の例題をやってみましょう。

集合Aの部分集合だから、Aの要素だけをもつ集合を書けばいいんだね

Aの部分集合は、{1}{2}{3}{4}

他には{1,2}{1,3}{1,4}とか……

　まずは解答をまとめます。

　部分集合には元の集合とまったく同じ要素を持つ集合と、空集合があります。

　例題でいう{1,2,3,4}のような、元の集合とまったく同じ要素を持つ集合を真部分集合と言います。

⑥共通部分『$A \cap B$』

　2つ以上の集合があるとき、共通の要素を共通部分といい、　記号$\cap$(キャップ)で表します。

　$A \cap B$の読み方は、『AキャップB』もしくは『AかつB』です。

　共通部分は、図でもイメージできるようにしましょう。

⑦和集合『$A \cup B$』

　2つ以上の集合があるとき、それらの要素を全て集めた集合を和集合と言います。

　和集合は記号$\cup$と表し、読み方は$A \cup Bであれば『AカップB』もしくは『AまたはB』です。

　ポイントは、共通部分は1回だけ書くことです。

　和集合は、図でもイメージできるようにしましょう。

⑧全体集合『$U$』

　全体集合とは、問題に出てくるすべての数や文字を集めた集合です。

全体集合の例

1年2組の男子を集合Aとすると、1年2組全員が全体集合$U$にあたる。

クラスに女子もいるとしたらAに入らないよね？

　集合の要素ではないものを集めた集合は補集合と言います。

　補集合については、このあとすぐに解説します。

⑨補集合『$\overline{ A }$』

　ある集合をAとしたとき、Aに属さない要素を集めた集合を補集合といいます。

補集合の例

全体集合$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

$A=\{1,3,5,7,9\}$のとき、補集合$\overline{ A }$は、

$\overline{ A }=\{2,4,6,8\}$

図で表すと以下のようになる。

集合に出てくる公式を解説

　ここからは集合に出てくる公式を解説します。

①ド・モルガンの法則

　ド・モルガンの法則は、以下の2種類があります。

　ド・モルガンの法則を使えば、$ \overline{ A } \cup \overline{ B }$と$ \overline{ A } \cap \overline{ B }$を簡単に求められるのです。

　ド・モルガンの法則より$\overline{ A\cap B } = \overline{ A } \cup \overline{ B }$です。

　よって$\overline{ A } \cup \overline{ B }$を求めたければ、$\overline{ A\cap B }$を求めればよいのです。

②和集合の個数

　和集合の個数を求めるには、以下の計算をします。

n(A)+n(B)じゃだめなの？

　単にAとBの要素の個数を足しただけだと、AかつBの要素を2回数えてしまいます。

　よって、AかつBの要素を1回分ひかなければならないのです。

イメージしずらいな……

　集合の個数ではイメージしづらい人は、要素を全て書き並べて考えてみましょう。

和集合の個数を求める例

$A=\{1,2,3,4,5\}$

$B=\{2,4,6,8,10\}$

$A \cup B$の要素を求めるには、$A \cap B$を1回分消さなくてはいけない。

下の画像より、$A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,8,10\}$

　以上のように、和集合を求めるためには単に集合の個数を足すだけでなく、共通部分を引かなければならないのです。

まとめ

　ここまで、集合に出てくる用語・記号、公式を解説しました。

　聞いたことのない用語や記号がでてきて、混乱してしまうのも無理はありません。

　この記事で習ったことを忘れないよう、学校の問題集などで集合の問題を解いて、知識を定着させましょう。

　たすき掛けの因数分解は、正解の組合わせを見つけるのが大変ですよね。

　何パターンも組合わせを試してもなかなか正解にたどり着かない時のイライラは、私も何度も経験しています。

　実はたすき掛け因数分解で、組合わせを早く見つける方法があるのです！

そう言われてもわかんないなー……

　ピンと来ない人でも大丈夫です。後で詳しく解説します。

　この記事ではたすき掛けの因数分解で組合わせを早く見つける方法2つを、例題を用いて具体的に解説します。

　たすき掛けの因数分解ってそもそもどうやるんだっけ？　という人のために、最初にたすき掛けの因数分解のやり方を解説するので安心して読んでくださいね。

たすき掛け因数分解のやり方を確認

　そもそもたすき掛けの因数分解ってどうやるんだっけ？　というあなたのために、まずはその基本的なやり方を説明します。

　たすき掛けのやり方は大丈夫！　という人は読み飛ばして構いません。

　初めからたすき掛けの組合わせを早く見つける方法を読んでOKです。

　以下、例題を用いて具体的に解説します。

　まずは①かけ算したら$x^2$の係数と定数項になる数を縦に並べます。

$x^2$の係数は2で、定数項は3だね

　かけ算して2になるのは1×2で、3になるのは1×3です。

　これを縦に並べると、以下の2パターンの図ができます。

　そして②ななめにかけ算してその和を求め、$x$の係数になったら成功です。

　最後は③左側に$x$をつければ終わりです。

　よって答えは、$\color{red}{2x^2+5x+3=(x+1)(2x+3)}$

たすき掛け因数分解の組合わせを早く見つける方法2つ

　ここからは、たすき掛けの因数分解の組合わせを早く見つける方法を解説します。

　以下の例題を用いて、図を用いながら詳しく解説します。

①たすき掛けの左側は固定する

　因数分解の組合わせを見つけるとき、あなたは同じ組合わせまで試していませんか？

　たすき掛けの組合わせを見つけるときに左側まで変えてしまうと、同じ組合わせができてしまいます。

$x^2$の係数は3だから、1×3

定数項は-6だから……

　早く正しい組合わせを見つけるために、左側は固定して考えましょう。

②マイナスを一旦考えずに組合わせを作る

　左側を固定したとしても、まだまだ組合わせのパターンが多いですよね。

　そこで、マイナスの数は一旦考えないで、組合わせを作りましょう。

　マイナスを考えないとかなり組合わせの数が減るので、さらに正しい組合わせを見つけやすくなります！

でも定数項を-6にするためには、マイナスが必要だよね？

　どうやってマイナスを付けるかは、たすき掛けの積の和に注目して考えます。

　この問題では、和が-7になればよいのです。

　(1×3)と(3×2)の組合わせだと以下のようになります。

　たすき掛けの積が9と2になりますよね。

　9と2を使って-7にするには、9にマイナスがつけばいいですよね。

　よって、(3×2)の3にマイナスをつければ、-7を作れます。

　このように、マイナスは後で付ける方が正しい組合わせを見つけやすいのです。

　よって答えは、$\color{red}{3x^2-7x-6=(x-3)(3x+2)}$

まとめ

　たすき掛けの因数分解で組合わせを早く見つける方法は、確かに存在します。

　ここで紹介した方法を暗記しただけでも、たすき掛けの因数分解のやりやすさはかなり変るはずです。

　しかし、テクニックを知っているだけでは計算スピードは頭打ちになってしまいます。

　ここで読んだことを身につけるためにも、たすき掛けの因数分解の問題演習をたくさん行いましょう。

　そして計算方法を体に染みこませ、この記事の内容を自分のものにしましょう！

　高校生で習う数学Ⅰでは、絶対値を外す問題がたくさん出てきますよね。

　その中でも複雑なのが、絶対値を外す公式です。

　|x|=a⇒x=±aに始まり、

　|x|>a⇒x<-a,a<xに、|x|<a⇒-a<x<aになる公式は、丸暗記しようとしてもすぐに忘れてしまいますよね。

　実はこの公式は、『|x|=a』『|x|>a』『|x|<a』が何を意味しているのかを押さえれば簡単に理解できます。

　この記事では『|x|=a』『|x|>a』『|x|<a』が何を意味しているのかを理解するため、まずは絶対値とは何かを解説します。

　その後で、絶対値を外す公式(|x|=a,|x|>a,|x|<a)が成り立つ理由を、図を用いて解説します。

【前提知識】絶対値とは0からの距離のこと

　絶対値とは何か、あなたは説明できますか？

　絶対値とは何かを説明できないと、絶対値を外す公式は理解できません！

　まずは絶対値を正しく理解しましょう。

　絶対値は0からの距離です。

　例えば-3の絶対値、つまり-3の0からの距離は『3』ですよね。

　絶対値を考えるときは、以下の図をイメージしましょう、

【図解】絶対値を外す公式が成り立つ理由

　これまでで、絶対値とは0からの距離のことであると確認しました。

　ここからは絶対値を外す公式(|x|=a,|x|>a,|x|<a)がなぜ成り立つのかを解説します。

　この公式は、aにあたる数が正の定数のときのみ使えます。

　例えばaにあたる数が3xなどの変数のときは、この公式は使えないので注意です！

①|x|=a『xの0からの距離はaである』

　絶対値とは0からの距離のことでしたね。

　つまり|x|=aが意味するのは、xの0からの距離はaであるということです。

　0からの距離がaである数は、aと-aが該当しますよね。

　以上より、|x|=a⇒x=±aの公式が成り立ちます。

②|x|>a『xの0からの距離がaよりも遠い』

　|x|>aが意味するのは、xの0からの距離がaよりも遠いということです。

　xの0からの距離がaよりも遠い範囲は、以下の図で表せます。

　以上より、|x|>a⇒x<-a,a<xの公式が成り立ちます。

③|x|<a『xの0からの距離がaよりも近い』

　|x|<aが意味するのは、xの0からの距離がaよりも近いということです。

　xの0からの距離がaよりも近い範囲は、以下の図で表せます。

　以上より、|x|<a⇒-a<x<aの公式が成り立ちます。

まとめ

　絶対値を外す公式は、テスト前に丸暗記したとしても受験前には忘れてしまいます。

　しかしこの記事を読んで公式の成り立つ理由を理解したあなたなら、受験前になっても覚えていることでしょう。

　とはいえ定期的な復習は必要なので、テストが終わっても復習を怠らないようにしましょう。

　高校数学で難しいのは、場合分けのある問いですよね。

　特に文字係数の方程式や不等式は高校数学の初めの方で習うので、まだ場合分けに慣れていない人にとってはわかりにくいでしょう。

　そこで、この記事では文字係数の方程式・不等式の場合分けを用いた解き方がわからないあなたに向けて、場合分けが必要な理由と場合分けを用いた解き方を解説します。

　この記事を読めば場合分けが必要な理由からわかるので、『なんとなく』ではなく『しっかり根拠をもって』場合分けをしながら文字係数の方程式・不等式を解けるようになります！

文字係数で割るときに場合分けする理由

　文字係数の方程式・不等式では、まずは文字係数で両辺を割りますよね。

　では、なぜ文字係数で割るときに場合分けをするのでしょうか。まずは理由は2つあります。

　改めて見ると、当たり前のことですよね。

　まず、数学のルールとして『2÷0』のように0で割ることはできません。

　さらに、文字は特に何も言われない限り全ての実数を表しています。

　つまり文字で割るということは、0で割っている可能性も捨てきれないということです。

　よって文字係数の等式を解くときは、文字が0である可能性を考えて場合分けをしなくてはいけません。

　また、文字は何の数かわからないので、正の数なのか負の数なのかもわかりません。

　正負がわからないと不等式を解くときに困りますよね。

正の数ならいいけど、負の数で割ったら不等号が逆になるもんね

　つまり文字係数の不等式を解くときは、文字が0である可能性に加えて、文字が正の数である・負の数である可能性も考えて場合分けしなくてはいけません。

【例題】文字係数『等式』の解き方

　ここからは文字係数の等式の解き方を、例題を用いて具体的に解説します。

$x=○○$の形にしたいから、

まずは両辺を$a$で割るよね

　文字係数$a$で割るとき、その$a$が『0』か『0でないか』の場合に分けて考えなくてはなりません。

　なぜなら、$a$が『0』の場合は両辺を0で割ることになるからです。

　以上のように場合分けして解いてみましょう。

　$(ⅰ) a=0$ のとき

　$a(x+1)=a+3$

　$0・(x+1)=0+3$

　$0=3$

　これは明らかに成り立たないので、$a=0$のとき解なし。

　$(ⅱ) a≠0$のとき

　$a(x+1)=a+3$

　両辺を$a$で割ると、

　$x+1=\frac{a+3}{a}$

　$x+1=\frac{a}{a}+\frac{3}{a}$

　$x+1=1+\frac{3}{a}$

　$x=\frac{3}{a}$

　よって答えは、$\color{red}{a=0のとき解なし、a≠0のときx=\frac{3}{a}}$

【例題】文字係数『不等式』の解き方

　ここからは文字係数の不等式の解き方を、例題を用いて具体的に解説します。

　普通ではまず両辺を割るところですが、文字$b$で割るとなるとそれが『0』である可能性を考えなくてはならないのは等式を解くときと同じです。

　さらに不等式では両辺を割ったときにあるルールがありました。

正の数で割ったら不等号はそのまま。

負の数で割ったら不等号は逆向きになるね。

　以上のことから、不等式の両辺を文字で割るときは以下のように場合分けします。

以上のように場合分けして解いてみましょう。

　$(ⅰ) b=0$ のとき

　$b(x-3)≧2b$

　$0・(x-3)≧2・0$

　$0≧0$

　これはxの値に関係なく成立するから、xは全ての実数。

　$(ⅱ) b＞0$ のとき

　$b(x-3)≧2b$

　$x-3≧2$

　$\color{red}{x≧5}$

　$(ⅲ) b＜0$ のとき

　$b(x-3)≧2b$

　$x-3≦2$

　$\color{red}{x≦5}$

　よって答えは、$\color{red}{b=0のとき、ｘは全ての実数，b>0のときx≧5，b<0のときx≦5}$

まとめ

　文字係数の方程式・不等式の解き方についてまとめます。

• 『0では割れない』『文字は何の文字かわからない』ことを知る
• 文字係数の方程式では『文字＝0』『文字≠0』に場合分けする
• 文字係数の不等式では『文字＝0』『文字＞0』『文字＜0』に場合分けする

　まだ場合分けには慣れていないかもしれませんが、場合分けには必ず意味があります。

　問題集の解説を読むときも、『何のために場合分けをするのか？』を意識しながら理解しましょう。

　二重根号の外し方って、一度聞いてもなかなか理解できないですよね。　

　公式を丸暗記しても、結局すぐに忘れてしまい、そのたびに検索している人も多いのではないでしょうか？

　そんなあなたに向けて、この記事では二重根号の公式を確認したあとで、二重根号を外すときの考え方を解説します。

　さらに、例題を用いて二重根号の公式の使い方を確認します。

　この記事を読めば二重根号の公式を丸暗記するのではなく、公式の考え方を理解できるので、二重根号の外し方を確実に身につけることができます！

【公式の解説】二重根号は因数分解を用いて外す

　まずは二重根号を外す公式を確認します。

　その後で、二重根号を外すときの考え方を解説します。

　最後に二重根号の公式を使うときの注意点をお話しているので、ぜひ最後まで読んでくださいね。

　二重根号の公式を丸暗記するのではなく、公式の考え方を理解できるので、二重根号の外し方を確実に身につけることができます！

二重根号を外す公式

　まずは二重根号を外す公式を確認しましょう。

こんなのすぐ忘れちゃうよ～

　二重根号を外す公式は複雑で、何度確認してもすぐ忘れてしまいます。

　しかし、これから解説する『二重根号の外すときの考え方』を読めば、公式の意味が理解できるため公式を忘れにくくなりますよ！

　さらに、公式で忘れがちな『2』が含まれる理由もわかります。

二重根号を外すときの考え方

　二重根号を外すといっても、所詮は根号を外す作業です。

　根号を外すには、根号の中が2乗の形になっていればいいですよね。

　したがって、二重根号を外す際も、外側の根号の中を2乗の形にすればよいのです。

二重根号を外す公式は、外側のルートの中を2乗の形にするためにあるんだね

　外側の根号を2乗の形にするためには、因数分解の公式『$\color{red}{x^2±2ax+a^2=(x±a)^2}$』を利用します。

　とはいえ、二重根号を外す問い$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$のような形から、因数分解をするのは難しそうですよね。

項が2つしかないのに、どうやって因数分解するの？

　いきなり因数分解をイメージするのは難しいので、まずはルートの数の展開をしてみましょう。

　ルートの数の展開を見た後で、もう一度二重根号を外す公式を見るとより理解が深まりますよ。

　この展開を見ると、二重根号を外す公式に『2』が含まれる理由がわかりますね。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$の形に因数分解するから、公式に2が含まれているんだね

二重根号を外す時の注意点～$\sqrt{a}>\sqrt{b}$

　$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$のときの注意点は、必ず$\color{red}{\sqrt{a}>\sqrt{b}}$になることです。

どうして$\sqrt{a}>\sqrt{b}$じゃないといけないの？

　$\sqrt{a}>\sqrt{b}$なのは、二重根号を外したあとの『$\sqrt{a}-\sqrt{b}$』が正になるためです。

　これが負になってしまうと、ルートの中から負の数が出てくることになります。

　ルートの中は必ず正の数であると決っているため、$\sqrt{a}>\sqrt{b}$でないとおかしいのです。

二重根号の外し方を例題で解説

　ここからは具体的な例題を用いて二重根号の外し方を解説します。

　この後で解説します。

①$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

　$\sqrt{5+2\sqrt{6}}＝\sqrt{(3+2)+2\sqrt{3×2}}$とします。

　すると公式$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a})+\sqrt{b})^2}＝\sqrt{a}+\sqrt{b}$のように因数分解できます。

足して5、かけて6になる2つの数を見つけるんだね！

　解答は以下です。

　$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

　$＝\sqrt{(3+2)+2\sqrt{3×2}}$

　$＝\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}$

　$＝\color{red}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

②$\sqrt{13-2\sqrt{30}}$

　『ー(マイナス)』が使われているので、

　公式$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}＝\sqrt{a}-\sqrt{b}$を使うとわかります。

　$\sqrt{13-2\sqrt{30}}$を因数分解しやすいように変形すると、

　$\sqrt{13-2\sqrt{30}}＝\sqrt{(10+3)-2\sqrt{10×3}}$になります。

　解答は以下です。

　$\sqrt{13-2\sqrt{30}}$

　$＝\sqrt{(10+3)-2\sqrt{10×3}}$

　$＝\sqrt{(\sqrt{10})-\sqrt{3})^2}$

　$＝\color{red}{\sqrt{10}-\sqrt{3}}$

$\sqrt{3}-\sqrt{10}$じゃダメなの？

　$\sqrt{3}-\sqrt{10}$は負の数ですよね。

　ということは、ルートの中から負の数が出てくることになります。

　ルートの中は必ず正の数なので、$\sqrt{3}-\sqrt{10}$はダメです。

③$\sqrt{6+\sqrt{35}}$

　$\sqrt{6+\sqrt{35}}$は、内側のルートの数『$\sqrt{35}$』に『$2$』がついていません。

このままじゃ因数分解できないよ

　『2』をつけるために、以下のように変形します。

　$\sqrt{6+\sqrt{35}}$

　$＝\sqrt{\displaystyle \frac{6 \color{red}{×2}\color{black}{+\sqrt{35}}\color{red}{×2}}{\color{red}{2}}}$

　$＝\sqrt{\displaystyle \frac{12+2\sqrt{35}}{2}}$

これで分子を因数分解できるね！

　続きをやっていきます。

$＝\sqrt{\displaystyle \frac{12+2\sqrt{35}}{2}}$

$＝\sqrt{\displaystyle \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{2}}$

$=\displaystyle \frac{\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}}{\sqrt{2}} $

$=\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

　ここまで来たら、最後に有理化をします。

$=\displaystyle \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})\color{red}{\times\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\color{red}{\times\sqrt{2}}}$

$=\displaystyle\color{red}{\frac{\sqrt{14} + \sqrt{10}}{2}}$

長かった～！

まとめ

　二重根号の外し方についてまとめます。

• 二重根号を外す公式は、外側のルートの中を2乗の形にするためにある。
• ルートの中を2乗の形にするために、因数分解をする。
• ルートの中は必ず正の数だから、二重根号を外した後は正になるようにする。

　公式は複雑で忘れやすいですから、丸暗記をせずに公式の意味を理解しましょう。

　あとは計算練習を積んで、二重根号を外すのに慣れていきましょう！