高校数学『数学B』の中でも複雑な公式の多い数列。

　それらの公式の中で序盤に出てくるのが等差数列と等比数列の和の公式です。

　等差数列も等比数列も和の公式は分数なので、覚えるどころか見ただけで嫌になってしまいますよね。

　しかし、等差数列と等比数列の和の公式は小学生でもわかる理屈で導けるのです！

　なぜなら等差数列と等比数列の和を求める問題は、中学受験で出題されるからです。

　小学生でもわかる理屈で和の公式を求められるなら、苦労して丸暗記するのは損だと思いませんか？

　ぜひこの記事を読んで、等差数列と等比数列の和の公式が成り立つ理由を理解し、ラクに公式を覚えましょう！

等差数列と等比数列の和を求めるのに公式はいらない

　そもそも等差数列と等比数列の和を求めるのに公式はいりません。

　等差数列と等比数列の和を求める問題は中学受験でも出題されます。

　小学生が文字ばかりで難しい公式を暗記していると思いますか？

　実は、小学生は等差数列と等比数列の和を算数の知識だけで解いているのです。

　高校数学で出てくる和の公式は、小学生がやっている解き方を一般化(文字を使って表すこと)したものに過ぎません。

　つまり、公式を使わない和の求め方が分かれば、公式の成り立ちもわかります。

【等差数列の和】公式の成り立ちを解説

　等差数列の和の公式は以下です。

　まずは①について解説したあと、②について解説します。

$ S_n = \frac{n}{2} ( a_1 + l ) $

　公式$ S_n = \frac{n}{2} ( a + l ) $を日本語で書き換えると以下のようになります。

　$ S_n = \frac{項数}{2} ( 初項 + 末項 ) $

　つまりこの公式では、数列の初項と末項を足し、その和を項数で掛けた後に2で割っています。

　なぜこのような計算をするのか、具体的な数列を用いて確かめていきましょう。

　初項2、公差3の等差数列$a_n=3n-1$の、$a_7$までの和を求めます。

　まずは①、第7項$a_7$までを書き並べましょう。

　数列の第7項までの数、2～20が並びました。

　次に②。その下に、逆の順番で数列を書きましょう。

　さらに③、上下にできた数列を足します。

　改めて公式を見てみましょう。

　$ S_n = \frac{項数}{2} ( 初項 + 末項 ) $

　この公式はまず、初項と末項を足して、その和を項の数だけかけていますよね。

　上下にできた数列を足すと、項の数（ここでは7項）だけ「初項 + 末項」が出現します。

　したがって、$22(初項+末項)×7(項数)$が、2つの数列の合計です。

　求めたいのは当然、1つの数列の第7項までの和なので、2で割ります。これが分数の『2』です

　よって、初項2、公差3の等差数列$a_n=3n-1$の、$a_7$までの和は、以下のように求められます。

　$ S_7 = \frac{7}{2} (2+20) $

　$ S_7 = 77$

　以上から、$ S_n = \frac{項数}{2} ( 初項 + 末項 ) $つまり$ S_n = \frac{n}{2} ( a_1 + l ) $の公式が成り立つと言えます。

$S_n = \frac{n}{2} \left\{ 2a_1 + (n – 1)d \right\}$

　この公式は、代入と変形だけで完成します。

　$S_n = \frac{n}{2} \left\{ 2a_1 + (n – 1)d \right\}$は、$ S_n = \frac{n}{2} ( a_1 + l ) $の公式を元にできているのです。

　等差数列の一般項の公式$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$より、数列の末項は第n項$\color{red}{(a_n)}$、つまり$\color{red}{a_{1}+(n-1)d}$です。

　$ S_n = \frac{n}{2} ( a_1 + l ) $の$l$に$a_{1}+(n-1)d$を代入します。

　$S_n = \frac{n}{2} ( a_1 +\color{red}{ l })$

　$S_n = \frac{n}{2} \left\{ a_1 + \color{red}{a_1+ (n – 1)d} \right\}$

　$S_n = \frac{n}{2} \left\{ 2a_1 + (n – 1)d \right\}$

　このように代入して整理するだけで、$S_n = \frac{n}{2} \left\{ 2a_1 + (n – 1)d \right\}$の公式を作れます。

【等比数列の和】公式の成り立ちを解説

　等比数列の和の公式は以下です。

　まずは①について解説したあと、②について解説します。

$ S_n = \frac{a_1(1 – r^n)}{1 – r} \quad \text{または} \quad S_n = \frac{a_1(r^n – 1)}{r – 1} $

　等比数列の和を求めるには、次のような手順を踏みます。

　初項1、公比3の等比数列($a_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$)の、第5項までの和を求める問いを例にします。

　まずは①、第5項$a_5$までを書き並べましょう。この数列を『数列A』とします。

　次に②。公比の3をかけた数列を書きましょう。この数列を『数列B』とします。

　第5項の81に公比3をかけると、第6項にあたる『243』が出現します。

　その後③、『数列B』から『数列A』を引きます。

　『－(初項)』である『-1』と第6項『243』が残りましたね。

　最後に④(公比-1)で割ります。

　元の数列を3倍(公比の3)した『数列B』から、元の数列『数列A』を引くということは、出てきた差は『元の数列の2倍』ですよね。

　つまり、問われている元の数列の和を求めるには『2』で割る必要があります。

　したがって、この数列の第5項までの和を$S_5$とすると、求める式は以下のようになります。

　$S_5＝\frac{-1+243}{2}＝121$

　まず、$S_5＝\frac{-1+243}{2}$の分母『2』とはなにか。これは『この数列の公比3から1を引いた数』つまり『$\color{red}{r-1}$』です。

　ここで、改めて公式を見てみましょう。

　$ S_n = \frac{a_1(r^n – 1)}{r – 1} $

　この公式の分母『$\color{red}{r-1}$』と一致しますね。

　では、分子『$-1+243$』はどうなるのか。

　公式$ S_n =\frac{a_1(r^n – 1)}{r – 1} $を展開してみましょう。

　$ S_n = \frac{a_1(r^n – 1)}{r – 1} $

　$ S_n = \frac{a_1・r^n -a_1}{r – 1} $

　$S_n = \frac{ -a_1+a_1・r^n}{r – 1} $←分子の項を入れ替えた

　分子『$-1+243$』の『-1』こそが『$\color{red}{-a_1}$』です。

　では、$a_1・r^n$とはなにか。

　それを知る鍵となるのは、数列Bにだけ出てくる『243』の成り立ちです。

　そもそも数列Bは、数列Aを公比の数だけ倍してできた数列ですよね。

　元の数列Aの一般項は$a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $、つまり末項は$ a_1 \cdot r^{n-1} $です。

　数列Aの末項は81なので$a_1 \cdot r^{n-1}＝81$といえます。

　対して数列Bの末項243は、81を3(公比r)倍したものなので、

　$a_1 \cdot r^{n}＝243$となります。

　よって、$a_1・r^n$とは公比の数をかけてできた数列(数列B)の末項を表しています。

$ S_n = a_1n $

　次に$ S_n = a_1n $の成り立ちについて解説します。

　これは公比$\color{red}{r=1}$のときのみ使用できる公式です。

　では、公比$r=1$の等比数列とはどんな数列でしょうか。

　つまり公比$r=1$の数列で第n項までの和を求めるときは、同じ数字がn個あるので$初項×n$をします。

　よって、公比$r=1$のとき$ S_n = a_1n $です。

まとめ

　等差数列と等比数列『和の公式』の意味は、算数の知識だけで説明できます。

　とはいえ、こうして解説されると難しい部分があるかと思います。

　特に等比数列の和$ S_n = \frac{a_1(r^n – 1)}{r – 1} $の意味は難しいでしょう。

　ゆえに、丸暗記した方が早い！　と感じる人がいるかと思います。

　しかし等差数列と等比数列の和の公式を丸暗記すると、必ず忘れてしまいます。

　私も何度も覚え直しています。

　その場しのぎで丸暗記しようとするのではなく、ぜひ公式の成り立ちから理解しましょう。

　等差数列と等比数列の公式を丸暗記しようとはしていませんか？

　数学Bの『数列』ではたくさんの公式が出てくるので、それらを全て丸暗記しようとするといずれ限界が来てしまいます。

　そこでまずは、等差数列と等比数列の一般項がなぜあの形になるのか？を理解しましょう。

公式の成り立ちを理解するなんてめんどくさい！

　実は等差数列と等比数列『一般項の公式』は、中学受験をする小学生でも理解しているのです！

　高校生のあなたに理解できないはずがないですよね？

　難しい公式を丸暗記するだけ損！　わかりやすい説明を聞いて、公式をラクに覚えていきませんか？

数列の公式は小学生でも知ってる！？

　あなたが苦しんで覚えようとしている数列の一般項の公式、実は小学生でも知っています。なぜなら中学受験の算数で出題されるからです。

　といっても、$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$や$a_{n}=a_{1}･r^(n-1)$のような記号で出てくるわけではありません。というか、小学生には文字では説明できません。

　ならどうしているのかというと、等差数列はこういう数列だよと具体的に説明しています。

　逆に言えば、数列の一般項の公式は、具体例を用いて小学生でも理解できるように説明できるのです。

　それなら、難しい文字列である公式の丸暗記するだけ損だと思いませんか？

　小学生でも理解できる説明を聞いて、公式を理解して忘れにくくしましょう。

等差数列の公式を解説

　まずは等差数列の公式を確認し、その次に成り立ちをわかりやすく解説します。

等差数列の公式$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

　まずは等差数列の公式を確認しましょう。

等差数列の一般項の公式が成り立つ理由

　そもそも等差数列とはなにか、あなたは説明できますか？

　等差数列の一般項の公式が成り立つ理由を読む前に、まずは等差数列とはなにかを確認しましょう。

　等差数列とはなにかをわかったところで、等差数列の一般項の公式が成り立つ理由を見ていきましょう。

　等差数列の一般項の公式『$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$』は、数列の『n番目の数』を表しています。

　なぜn番目の数が『$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$』で表されるのかを調べるため、○番目の数を具体的に求めてみましょう。

　この数列の公差はいくつでしょう？

公差は『3』だね！

　○番目の数を具体的に求めるためには、初項2に、公差3をいくつか足します。

　ここでは3番目、5番目、7番目の数を求めてみます。

• 3番目の数($a_{3}$)は初項2に、公差3を2つを足す
  ⇒$2+3×2＝8$

　同じように上の図を見ながら、5番目と7番目の数を求めましょう。

• 5番目の数($a_{5}$)は初項2に、公差3を4つを足す
  ⇒$2+3×4＝14$
• 7番目の数($a_{7}$)は初項2に、公差3を6つを足す
  ⇒$2+3×6＝20$

　何番目の数でも、初項に公差を足すことは変わりません。

　では、公差をいくつ足すか？

　3番目の数を求めるときは公差を2つ足す

　5番目の数を求めるときは公差を4つ足す

　7番目の数を求めるときは公差を6つ足す

『○番目の数よりも1小さい数』だけ公差を足すんだね！

　では、『n番目の数』を求めるにはどうしたら良いでしょうか？

　初項$a_{1}$、公差dの数列のn番目の数を求めるには、初項$a_{1}$に、公差dを$n-1$つ足すと、式は以下のようになります。

　$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

　これが等差数列の一般項の公式です。

等比数列の公式を解説

　まずは等比数列の一般項の公式を確認し、その次に成り立ちをわかりやすく解説します。

等比数列の公式$a_{n}=a_{1}･r^{n-1}$

　まずは等比数列の公式を確認しましょう。

　等比数列とはなにかをわかったところで、等比数列の一般項の公式が成り立つ理由を見ていきましょう。

等比数列の公式が成り立つ理由

　等差数列の公式が成り立つ理由とほとんど同じです！

　でも理由を説明する前に、そもそも等比数列とはなにかを確認しておきましょう。

　等比数列の一般項の公式『$a_{n}=a_{1}･r^{n-1}$』は、数列の『n番目の数』を表しています。

　なぜn番目の数が『$a_{n}=a_{1}･r^{n-1}$』で表されるのかを調べるため、○番目の数を具体的に求めてみましょう。

　この数列の公比はいくつでしょう？

公比は『2』だね！

　○番目の数を具体的に求めるためには、初項3に、公比2をいくつか掛けます。

　ここでは3番目、5番目、7番目の数を求めてみます。

• 3番目の数($a_{3}$)は初項3に、公比2を2つ掛ける
  ⇒$3×2^2＝12$

　同じように上の図を見ながら、5番目と7番目の数を求めましょう。

• 5番目の数($a_{5}$)は初項3に、公比2を4つ掛ける
  ⇒$3×2^4＝48$
• 7番目の数($a_{7}$)は初項3に、公比2を6つ掛ける
  ⇒$3×2^6＝192$

　何番目の数でも、初項に公比を掛けることは変わりません。

　では、公比をいくつ掛けるか？　図と照らし合わせながら考えましょう。

　3番目の数を求めるときは公比を2つ掛ける

　5番目の数を求めるときは公比を4つ掛ける

　7番目の数を求めるときは公比を6つ掛ける

『○番目の数よりも1小さい数』だけ公比を掛けるんだね！

　では、『n番目の数』を求めるにはどうしたら良いでしょうか？

　初項$a_{1}$、公差rの数列のn番目の数を求めるには、初項$a_{1}$に、公比rを$n-1$個掛ける。すると式は以下のようになります。

　$a_{n}=a_{1}･r^{n-1}$

　これが等比数列の一般項の公式です。

まとめ

　以上で、等差数列と等比数列の一般項の公式が成り立つ理由を解説しました。

　改めて解説されると『あたりまえじゃん！』と思うような内容だったかと思います。

　このように小学生でも理解できる内容ですので、難しい公式を丸暗記するだけ損です。

　公式の成り立ちを理解し、公式を忘れにくく、忘れたとしても思い出せるようにしましょう。