中3数学『相似』のラスボスといえば、面積比・体積比を用いて解く『円錐内の水』の問いです。

　私が塾講師として生徒を見ていると、ほとんどの人が『円錐内の水』の問いでつまづいています。

　しかし、相似比と面積比・体積比の関係がわかれば簡単に解けるようになりますよ！

　この記事では、まずは前提知識として相似比と面積比・体積比の関係を確認します。

　その後で、円錐内の水の問い、①水はあとどれくらい入るか、②水で出来た円錐の表面積はいくらかを解説します。

【前提知識】相似比と面積比・体積比との関係

　まずは相似比と面積比・体積比の公式を確認します。

　その後で相似比から面積比・体積比を用いる例題を行い、公式をきちんと使えるかを確認します。

　これくらいは余裕だよ！　という人は読み飛ばしOKです。

①相似比と面積比・体積比の公式

　まずは相似比と面積比・体積比の公式を確認しましょう。

②面積比・体積比を用いる基礎例題

　次に、相似比を用いて面積比・体積比を求める基礎的な例題を行います。

　①について。

　面積比は$2^2:3^2={\color{red}{4:9}}$

　体積比は$2^3:3^3={\color{red}{8:27}}$

　②について。

　①より、△ABCと△DEFの面積比は$4:9$なので、△DEFの面積は

　$4:9=10:x$

　$x=22.5$

　よって$\color{red}{22.5cm^2}$

面積比と体積比を用いた『円錐内の水』の問いを解説

　次からはいよいよ、面積比と体積比を用いた『円錐内の水』の問いを解説します。

　問題は以下です。

　解説はこの後です。

①水はあと何$cm^3$入る？

　水の入っている部分を円錐と見ると、水でできた円錐と、円錐の入れ物の相似比は、

　$5:10=1:2$

　よって体積比は$1^3:2^3=1:8$

　さて、水の体積がわかっているので、体積比から入れ物の体積を求められます。

　そして(入れ物の体積)-(水の体積)をすれば、あと何$cm^3$の水が入るかがわかります。

　$1:8=80:x$

　$x=640$

　よって入れ物の体積は$640cm^3$なので、

　640-80=560

　よって答えは$\color{red}{560cm^3}$

②水でできた円錐の表面積は？

　この問いを解く鍵は、円錐の入れ物の表面積です。

　それさえ計算できれば、あとは面積比から水で出来た円錐の表面積を求められます。

　さて、円錐の表面積を求める方法を覚えているでしょうか？

　円錐の表面積を求めるポイントは、側面のおうぎ形の、中心角を求めることです。

　忘れてしまった人はこの記事を参考にしてくださいね。

　円錐の入れ物の展開図を見てみましょう。

　このように、円錐を展開すると、『円』とおうぎ形に分れます。

　円錐の表面積を求めるためには、それぞれの面積の和を求めればよいのです。

おうぎ形の中心角がないよ？

　おうぎ形の中心角を求める方法は、

• 底面の円の円周＝おうぎ形の弧の長さ
• おうぎ形の弧の長さを求める公式から中心角を求める

　以上の2つがポイントです。

　円の半径が7cmなので、$円周の長さ=2πr=2×π×7=14π(cm)$

　よっておうぎ形の弧の長さも$14π(cm)$

　次におうぎ形の弧の長さを求める公式に代入して、おうぎ形の中心角を求めましょう。

　おうぎ形の弧の長さ=$14π(cm)$、おうぎ形の半径=$10cm$で、中心角をa°とすると

　$14π=2×π×10×\frac{a}{360}$

　$a=150°$

　よって、円錐の入れ物の表面積は、

　$(底面の円の面積)+(側面のおうぎ形の面積)$

　$=7×7×π+10×10×π×\frac{150}{360}$

　$=49π+\frac{125}{3}$

　$=\frac{250}{3}cm^2$

　ここからが本題です。

　水でできた円錐と円錐の入れ物の相似比は$5:10=1:2$

　よって面積比は$1:4$です。

　さっき円錐の入れ物の体積を求めたので、この面積比から、水で出来た円錐の表面積を求めます。

　$1:4=x:\frac{250}{3}$

　$x=\frac{125}{6}$

　よって、水で出来た円錐の表面積は$\color{red}{x=\frac{125}{6}cm^3}$

まとめ『相似比と面積比・体積比の関係と円錐の問い』

　相似比と面積比・体積比の関係と円錐の問いについてまとめます。

　円錐の問題では、円錐の表面積を求める方法のような、中1で習った内容がでてきます。

　難しく見えるかも知れませんが、既に習った内容を一つ一つ振り返れば、必ずできるようになりますよ。

　二次方程式の解の公式を習ったとき、その複雑さにド肝を抜かれた人がいることでしょう。

　しかし、公式の暗記は意外と簡単なもの。たくさん問題を解いているうちに勝手に手が動くようになったかと思います。

　じゃあ、なぜあなたは解の公式を用いた二次方程式の計算でミスをしてしまうのか？

　私の塾講師としての経験より、以下のあるあるミス3選を解説します。

• 解の公式にマイナスを代入し忘れる
• 約分ミス
• 分子の計算ミス

　この記事では始めに二次方程式の解の公式を確認したあと、解の公式を用いた計算のあるあるミス3選を解説します。

　この記事を読めば、あなたが二次方程式を解の公式で解くときにミスをしてしまう原因がわかるので、テストや模試・入試での得点UPを目指せます。

そもそも二次方程式『解の公式』を覚えていますか？

　そもそも解の公式を完璧に覚えていますか？

　ドキッとした人は、この場で覚えてしまいましょう。

【解の公式】あるあるミス3選を塾講師が解説

　ここからは塾講師の私が、二次方程式を解の公式で解くときのあるあるミスを3つ解説します。

• 解の公式にマイナスを代入し忘れる
• 約分ミス
• 分子の計算ミス

　これらのミスはみんなが経験していくので、あなたにも当てはまるミスがあるはずです！

①解の公式にマイナスを代入し忘れる

　解の公式にマイナスを代入し忘れるミスが多い！！　多すぎる！！

　そのミスをしたことのない人は、私が担当した生徒にはいません。

　自分は大丈夫！　って思った？

　それなら、次の問題を解いてみましょう。

　解の公式に、次のように代入していませんか？

　正しくは次のように、b=-3,c=-1と、マイナスごと代入します。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}}$

②約分ミス

　解の公式を用いた二次方程式の計算では、分数の約分がでてきます。

　さて、あなたは次の二次方程式の計算で、正しく約分できるでしょうか？

　まずは普通に、解の公式に代入して計算します。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4×3×(-6)}}{2×3}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{6}$

　ここで、忘れずにルートの中身を出しましょう。

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{19}}{6}$

　ここからが重要です。

　分母の6、分子の-2、$2\sqrt{19}$は全て2で割れるので約分できます。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{3}}$

　ちなみに、次のように分子が『×』で繋がっているときは、約分の仕方が変わります。

③分子の計算ミス

　解の公式に登場する『±』の意味を考えたことはありますか？

　『±』ということは、『+』の数と『-』の数の2つが存在するということ。

　問題によっては『+』の場合と『-』の場合を考えて計算する必要がでてきますが、これもまたミスが多いところです。

　解の公式に代入してみましょう。

　$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4×3×(-2)}}{2×3}$

　$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2×3}$

　$x = \frac{-1 \pm 5}{6}$

　このようにルートが外れて分子が整数になったとき、分子を計算しなければいけません。

　この問題では、$x = \frac{-1 \pm 5}{6}$は$\frac{-1 + 5}{6}$と$\frac{-1 – 5}{6}$の2つがあります。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{2}{3} , -1}$

【塾講師は見た】解の公式はみんな同じミスをする！

　解の公式で解く二次方程式って、公式の複雑さにみんなビビる割には、結構できるようになるんですよ。

　でもね、上に挙げたようなミスをして、テストで減点をくらっているのです。

　それって！　それっっっっって！　ちょおおおおおおおおおおもっっっったいない！！！

　正直ね、マイナスを代入し忘れるとか、約分、分子の計算ミスとか、そういうのって『数学のやり慣れてなさ』から来るんです。

　それは中学生や高校生なら、じゅうぶん起こりうるミス。

　だから、たかが計算ミスと思わず、自分のミスの原因をちゃんと見て、少しずつ改善していってほしいなと、塾の先生は思います。

まとめ『二次方程式の解の公式あるあるミス3選』

　解の公式を用いた二次方程式の計算は、計算問題自体だけでなく、入試によく出る二次関数の問題を解くときにも使います。

　二次方程式は数学の基礎です。この機会に、しっかりとマスターしておきましょう。

　因数分解を用いる二次方程式の解き方は、かけ算する2つの数のうち、どちらかが0なら答えは0であることを利用します。

　この考え方さえ押さえておけば、因数分解を用いた二次方程式の解き方はバッチリ！

　でもそれがわからなければ、次のような問題でつまづいてしまうのです。

　$x^2-3x=0$

　$x(x-3)=0$

xでくくったあと、どうすればいいの～！？

　この記事では最初に因数分解の公式をおさらいしたあと、因数分解を用いる二次方程式の考え方を詳しく解説します。

　そのあとで、因数分解を用いた二次方程式の解き方を、解が2つのときと解が1つ(重解)のときを解説します。

　最後に因数分解を用いた二次方程式の問題演習を用意しているので、ぜひ力試しまでしていってください！

【前提知識】因数分解を覚えていますか？

　まずなんといっても、因数分解の公式を覚えていないことには始まりません！！

　ドキッとした人は、次の公式を確認して、因数分解についての記事も読んでくださいね。

　もちろん、因数分解は大丈夫！　というあなたはこのままGO！

【必見】因数分解を用いた二次方程式を解く共通の考え方

　因数分解を用いた二次方程式の解き方に共通する考え方があります。

　まずはその考え方を確認しましょう。

　因数分解をしたあとの式って、$(x-1)(x-3)$のようになりますよね。

　$(x-1)(x-3)$は$(x-1)×(x-3)$のようにかけ算でできています。

　つまり二次方程式$(x-1)(x-3)=0$であれば、x-1=0かx-3=0が成り立つと考えれば二次方程式を解くことができるのです！

因数分解を用いた二次方程式の解き方

　ここからはいよいよ、因数分解を用いた二次方程式の解き方を解説します。

　因数分解を用いた二次方程式の解き方を、

• 解が2つになる
• 解が1つ(重解)になる

　ときの2パターンに分けてお話しします。

①解が2つ

　まずは解が2つになる場合の解き方を解説します。

　まずは①について。

　$x^2+3x=0$の右辺を見ると、xでくくれそうですよね。

　公式を使うだけでなく、このようにくくるだけでも因数分解と言えるので忘れないように！

　$x^2+3x=0$
　$x(x+3)=0$

　さて、$x(x+3)=0$の左辺はどういう式でしょうか？

$x(x+3)=0$の左辺はかけ算の式で、

$x×(x+3)=0$と見ることができるね！

　$x×(x+3)=0$となるということは、かけ算の式のどちらかが0になれば良いのでした。

　つまり、x=0、x+3=0より、解はx=0,-3です。

　②について。

　$x^2-5x+6=0$を因数分解すると$(x-2)(x-3)=0$です。

　つまり$(x-2)×(x-3)=0$ということ。

$(x-2)×(x-3)=0$だから、

$x-2=0,x-3=0$ってことだね

　よって解はx=2,3です

②解が1つ(重解)

　まず、次の知識を頭に入れましょう。

　重解になる二次方程式の問題を解説します。

　まずは因数分解をします。

　$x^2+2x+1=0$

　$(x+1)^2=0$

　このときは、x+1=0になると考えればOKです。

　よって解はx=-1となります。

なんで『重解』っていうの？

　$(x+1)^2=0$は$(x+1)(x+1)=0$と見ることができます。

　解が2つになるときの考え方と同じように考えると、x+1=0またはx+1=0となる、と言えますよね。

　つまり解はx=-1とx=-1の2つと考えられます。

　とはいえ、『xに当てはまる数はなに？』と聞かれて、『-1と-1だよ！』って答える人はいませんよね。

　だから本当は答えが2つだけど、同じ数になっちゃったから1つだけ答えるのです。

　これを重なった解、つまり重解と言うのです。

公式$(x+a)(x-a)$は使わないの？$x^2=○$との関係も解説

　さて、ここまでで因数分解の公式を復習したあとに因数分解を用いた二次方程式の解き方を解説しました。

　因数分解の公式を復習した人は、なにか疑問に思いませんでしたか？

$x^2-a^2=(x+a)(x-a)$は使わないの？

　もちろん、$x^2-a^2=(x+a)(x-a)$を用いて二次方程式を解くこともできます。

　しかし、中学の範囲では$x^2=○$の解き方を使うのが一般的です。

　では、例を見てみましょう。

　この問いは二次方程式の始めの方に、$x^2=○$の解き方で習いましたよね。

　$x^2-9=0$

　$x^2=9$

　$\color{red}{x=±3}$

　しかし因数分解を用いた解き方を知っているあなたなら、次の解き方もできますよ。

　$x^2-9=0$

　$(x+3)(x-3)=0$

　$\color{red}{x=3,-3}$

　どちらの方法で解いても答えは一緒！

　あなたにとってラクな方で問題を解きましょう！

【問題演習】因数分解を用いた二次方程式の計算

　今までに習ったことを思い出しながら、因数分解を用いた二次方程式の計算問題をやってみましょう。

　①について。

　$x^2+4x=0$

　$x(x+4)=0$

　よって$x=0,-4$

　②について。

　$x^2−7x+10=0$

　$(x−2)(x−5)=0

　よって、$x=2,5$

　③について。

　$x^2+16x+64=0$

　$(x+8)^2=0$

　よって$x=-8$

まとめ『因数分解を用いた二次方程式の考え方と解き方』

　因数分解を用いた二次方程式の考え方と解き方についてまとめます。

　この単元はそもそも因数分解を覚えていないと解けません。

　二次方程式の計算問題はテストで得点しやすいので、因数分解を忘れていた人は必ず復習し、二次方程式を解けるようにしましょう。

　あなたは有限小数、無限小数、循環小数の区別はついていますか？

　学校ではサラッと流されてしまうため、特に無限小数と循環小数の違いがわかりにくいまま終わってしまいますよね。

　この記事ではまず、有限小数、無限小数、循環小数を表にまとめて解説します。

　その後で、有限小数、無限小数、循環小数それぞれについて詳しく解説します。

　有限小数、無限小数、循環小数の違いを有理数・無理数とからめて解説しているので、周辺知識も押さえつつ暗記できますよ！

【図解】有限小数・無限小数・循環小数を表にまとめて理解

　まずは有限小数・無限小数・循環小数を、表にしてまとめてみます。

　有限小数・無限小数・循環小数の違いを整理するときに、それらが有理数と無理数のどちらなのかを合わせて覚えましょう。

　周辺知識も一緒に覚えると、テスト対策に役立ちますよ！

　有理数と無理数がなにかがわからない人は、以下の記事を読んでから戻ってきてくださいね。

有限小数・無限小数・循環小数の違いを詳しく解説

　有限小数・無限小数・循環小数について、詳しく解説します。

有限小数

　有限小数は終わりのある小数のことです。

　有限という言葉を初めて聞いた人がいることでしょう。

　有限とは無限の反対のこと。言葉の意味からも、終わりのある小数であることがわかりますね。

　終わりのある小数は分数で表せるので、有限小数は有理数です。

無限小数・循環小数

　無限小数とは、終わりのない小数のことです。

　無限小数には次の2種類があります。

　循環小数とは、無限小数の一種なのです。

循環しない無限小数は、現れる数字に規則性がないんだね

　循環小数は分数で表すことができるので、有理数です。

　循環小数を分数で表す方法は高校の数学Ⅰで習います。

　興味のある人は、以下の記事を読んでくださいね。

　対して循環しない小数は分数で表せないので、無理数です。

循環しない小数の例で円周率があるから、循環小数は分数で表せないと覚えようかな

【参考】循環小数の表し方

　最後に循環小数の表し方を紹介します。

　次の例を用いて、循環小数の表し方を解説します。

　①について。

　0.333333……は3が繰り返し現れるので、3の上に『・』を書きます。

　よって、$0.333333\cdots\cdots=0.\dot{3}$

　②について。

　0.12121212……は12が繰り返し現れるので、1と2の上に『・』を書きます。

　よって$0.12121212\cdots\cdots=0.\dot{12}$

　③について。

　0.123123123……の繰り返し現れている数は123の3桁です。

　繰り返し現れる数が3桁以上のとき、初めと終わりの数の上だけ『・』を書きます。

　よって$0.123123123\cdots\cdots=0.\dot{1}2\dot{3}$

2には『・』を書かないんだね

まとめ

　有限小数・無限小数・循環小数の違いについてまとめます。

まとめ

　似たような用語が出てくると覚えづらくて混乱してしまいますが、周辺知識と一緒に覚えると記憶に残りやすいです。

　この記事で学んだことを活かし、テスト勉強頑張ってください！

　有理数と無理数を見分ける問題がよくわからない！　という中学生はあなただけではありません。

　特に不思議に思うのは、ルートの数なのに有理数に分類されることがあるときですよね？

　しかし、有理数と無理数の意味と、有理数と無理数を見分けるポイントさえわかれば、何も不思議なことはないのです。

　この記事ではまず、有理数と無理数とは何かを解説します。

　有理数と無理数を見分けるポイントを解説し、最後に有理数と無理数を見分ける問題を用意しています。

有理数と無理数とは何かを解説

　有理数と無理数の見分け方を解説するまえに、有理数と無理数の意味を確認します。

　有理数と無理数の意味はわかってるよ！　というあなたは、有理数と無理数の見分け方に進んでください。

有理数とは『分数で表せる数』

　有理数とは、分数で表せる数のことです。

　整数と小数は、分数で表せますね。

3は$\frac{3}{1}$

0.1は$\frac{1}{10}$

って表せるね！

　ポイントは、$\color{red}{\sqrt{9}}$も有理数であることです。

$\sqrt{9}=3$で整数だから、有理数なんだね

　有理数と無理数を分類する問いでルートがついてるのに有理数だった！　と思ったことのあるあなたは、そのルートの数が整数で表せないかを考えてみましょう。

無理数とは『分数で表せない数』

　無理数とは、分数で表せない数のことです。

　分数で表せない数って、ちょっとイメージしづらいですよね。

　でも大丈夫です。

　無理数は『整数に直せないルートの数』と『円周率』であると覚えればOKです！

有理数と無理数の見分け方

　ここからは有理数と無理数の見分け方を解説します。

　有理数と無理数の見分け方で混乱するのは、ルートがついているのに有理数だった！という時ですよね。

　この後で有理数と無理数を見分けるポイントを解説するので、それを読めば疑問を解決できますよ！

【必見】有理数と無理数を見分けるポイント

　まずは有理数と無理数を見分けるポイントを解説します。

　有理数と無理数の意味より、その数が分数で表せるか、表せないかをまず考えます。

　ポイントは、ルートの数が整数で表せるか表せないかを見分けることです。

　例えば$\sqrt{16}$は、$\sqrt{16}=4$と整数で表せるので有理数です。

　$\sqrt{5}$は整数で表せないので無理数でOKです。

ルートがついてるのに有理数だったときは、整数に直せないか確認してみよう

【問題】有理数と無理数を見分ける問題

　有理数と無理数を見分けるポイントは以下です。

　このポイントに乗っ取り、有理数と無理数に分類すると以下のようになります。

　$\sqrt{36}$について。

　$\sqrt{36}=6$と整数で表せるので有理数です。

　また、$0$は$\frac{0}{1}$などと分数で表せます。

まとめ

　有理数と無理数を見分ける方法についてまとめます。

　有理数と無理数の説明で、ルートの数は無理数だよ、と教えられた人がいるかと思います。

　そのように丸暗記しているの有理数と無理数の分類で引っかかってしまうので、ルートの数が整数で表せるかを確認するクセをつけましょう。

　中学校に入った途端、数学なのにアルファベットが出てきて混乱しているあなたは必見！

　小学校の算数では『300円のケーキを5個買いました。代金はいくら？』のように、具体的な数字が出てきましたよね。

　しかし中学校の数学では『300円のケーキをx個買いました。代金はいくら？』のように言われ、小学校の頃と違ってイメージがしづらいですよね。

$ｘ個$ってなに！？

意味わかんない！

　そんなあなたのために、この記事では文字で式を表すことについて、初めからわかりやすく解説します。

　最初は、そもそも文字で表すとはなにか？文字の使い方を解説します。

　次に文字で式を表すときのルールを4つお話しします。

　最後にこの記事で習ったことが身についたか確かめるために、文字で式を表す問題を用意しました。

文字で式を表すとはなにか？文字の使い方を解説

　まずは、そもそも文字で式を表すとはなにか？を解説します。

　数学に出てくる文字『xやy』は、どんな数かはわからないからとりあえず書くためにあります。

　もちろん文字はxやyでなくてもOKです。

　例えば文字を使えば、鉛筆を何本買ったかわからない時に鉛筆の代金を式で表すことができます。

$100x(円)$？

$100×x(円)$じゃダメなの？

　文字を使った式では、×(かける)の記号を省略するというルートがあります。

　他にも絶対に押さえておかなければいけないルールがあるので、このあとで解説します。

文字で式を表すときのルール4選

　文字で式を表すときに、知っておかなければいけないルールがあります。

　細かいルールは一旦置いておいて、まずはこの5つのルートを覚えましょう。

①係数が1のときは1を書かない

　係数が1のときに、$1x$や$1a$などと書いたらダメです。

　係数が1のときは1を省略して、$x$や$a$と書きます。

　しかし、係数が0.1のときは0.1aと書きます。

③×(かける)を書かない

　1本100円の鉛筆をx本買ったとき、代金は？

かけ算をして、

$100×x(円)$？

　文字式では×(かける)の記号を省略します。

　よって、$100×x={\color{red}{100x(円)}$とします。

じゃあ、

1本a円の鉛筆をb本買ったとき、代金は……

$a×b={\color{red}{ab(円)}}$だね！

④同じ文字のかけ算は指数を使う

　文字式のルール③で、文字式では×(かける)を書かないとお話ししました。

　ルール③では異なる文字のかけ算を解説しましたが、ここでは同じ文字のかけ算について解説します。

指数の表し方がよくわからない

　同じ数がかけられていたら、かけられていた数を右上に書けばOKです。

⑤÷(わる)を書かない

　文字式では÷(わる)の記号を使いません。

　÷の代わりに、分数のかけ算で表します。

　次の問題を考えてみましょう。

　a÷3と書きたくなるところですが、文字式では÷の記号は使いません。

　a÷3を$a×\frac{1}{3}$として、$\color{red}{\frac{1}{3}a}$または$\color{red}{\frac{a}{3}}$とします。

【問題】文字で式を表す

　ここまでで習ったことを踏まえて、以下の問題を解いてみましょう。

　①について。

　300円のケーキをa個買いました。

　さらに箱代が50円かかります。

　代金はそれらを全部合わせて、

　$300×a+50$

　$=\color{red}{300a+50(円)}$

　②について。

　まず、三角形の面積を求める公式は覚えていますか？

三角形の面積は、底辺×高さ÷2！

　中学校からは、割り算は逆数のかけ算にするよう意識しましょう。

　底辺x(cm)、高さy(cm)なので、

　$x×y×\frac{1}{2}$

　$=\color{red}{\frac{1}{2}xy}$

$\frac{xy}{2}$でもいいんだね

まとめ

　算数の時は『100円の鉛筆を5本買った』のように、具体的な数が出てくるのでイメージがしやすかったと思います。

　しかし中学校から習う数学では具体的な数学ではなく、xやyがでてきてイメージしづらくなります。

　初めは慣れないかもしれませんが、文字式のルールや計算方法を少しずつ理解し、数学の世界を楽しめるようになってくださいね！

この等式を、aについて解きましょう。

　日常生活では聞き慣れない言い回しなので、どうやって問題を解けば良いかわかりにくいですよね。

分母を払ったり、両辺を文字で割ったりするのも大変……

　文字について解く問題では、今までで習った数学の中で特に計算が難しいと感じる人が多いはずです。

　しかし文字について解くこと自体は、中1の一次方程式ですでにやっています。

　さらに分母を払ったり両辺を文字で割ったりする計算も、一次方程式が解けるなら、そこまで難しい計算ではありません。

　この記事では文字について解く問題の解き方を3つ紹介します。

　計算が難しいと感じる人向けに分母を払う・文字で割る計算のやり方もお話ししているので、数学が苦手な人も安心して読んでくださいね。

『文字について解く』はすでに中1でやっている！

　中2でいきなり、『aについて解きましょう』『Sについて解きましょう』などと言われて、難しいと感じているあなたへ。

　文字について解く問題自体は、中1ですでにやっています。

　そう、一次方程式です。

　『aについて解きましょう』と言われたら、一次方程式のように『a=～』と表し、『Sについて解きましょう』と言われたら『S=～』と表せばOKです。

　一次方程式は解けますか？

　答えは$x=3$ですね。

　一次方程式だって、この問いではxについて解いているのです。

　つまり文字について解けとは、その文字がどう表されるのかを答えてね、ということなのです。

　例に挙げた一次方程式では、xは3と表されます。

【前提知識】分母を払う・文字で割るが出来ますか？

　文字で表す問題で難しいのは、分母を払う操作と、文字で割るという操作です。

　自信がないという人は、それらのやり方も読んでくださいね。

　分母を払う、文字で割ることに問題はない人は読み飛ばしてOKです。

①分母を払う

　方程式で分数を見たら、分数を整数に変えることを考えましょう。

　$\frac{1}{3}$を整数にするため、ある数をかけましょう。

$\frac{1}{3}$に3をかけたら、整数の1になるね！

　分数を整数にかえるためのかけ算は、方程式の両辺に行います。

　以下のような分数を整数にかえるための計算を、分母を払うといいます。

　$\frac{1}{3}x=6$

　$\frac{1}{3}x{\color{red}{×3}}=6{\color{red}{×3}}$

　$x=18$

②文字で割る

　xについて方程式を解くということは、答えは$x=～$になります。

　そうなると、xの係数であるaが邪魔ですよね。

　係数が文字であっても、整数と同じように消すことができます。

　例えば方程式が$2x=6$であれば、両辺を2で割りますよね。

　同じように、$ax=3ab$の場合は両辺をaで割れば良いのです。

両辺をaで割るということは、両辺に$\frac{1}{a}$をかければいいね

　$ax=3ab$

　$ax{\color{red}{×\frac{1}{a}}}=3ab{\color{red}{×\frac{1}{a}}}$

　$x=3b$

【例題で解説】文字について解く問題3パターンのやり方

　ここからは文字について解く問題を3パターン解説します。

　以上の例題を用いて解説します。

①$2x+y=5【y】$

　$2x+y=5$をyについて解く問題です。

　つまり、この方程式を$y=～$のように表せば良いのです。

　よって、答えは以下のようになります。

　$2x+y=5$

　$\color{red}{y=-2x+5}$

これで終わり？

　このパターンは移項するだけで終わるからラクですね！

②$S=\frac{1}{2}ah【h】$

　$S=\frac{1}{2}ah$をhについて解く問題です。

　つまり、この方程式を$h=～$のように表せば良いのです。

　①の問題と違うのは、方程式に分数が混ざっていることです。

　分数が混ざっているときは、先に分母を払ってしまいましょう。

　解答は以下です。

　$S=\frac{1}{2}ah$

　$S×2=\frac{1}{2}ah×2$

　$ah=2S$

　$\color{red}{h=\frac{2S}{a}}$

③$z=\frac{1}{3}y(2x+3)【x】$

　$z=\frac{1}{3}y(2x+3)$をxについて解く問題なので、$x=～$で表せば良いですね。

分数とか、かっことかがあってゴチャゴチャしてる

　式がごちゃごちゃしているときは、最初に分母を払いましょう。

　また、$x=～$で表すため、かっこの中からxを取り出さなければいけません。

　つまり、分配法則を行います。

　解答は以下の図で表しました。

まとめ

　置き換えを用いる展開で、あなたは置き換えを上手に使いこなせていますか？

　$(x+y+1)(x+y-2)$のような問題はパッと解き方を思いつくかもしれません。

　しかし、以下の3つの問題はどうでしょうか？

• 並べ替えが必要な問題
  $(x+2-y)(x-y-3)$
• マイナスでくくる問題
  $(a+2b-5)(a-2b+5)$
• 項が3つで2乗の問題
  $(a+b+3)^2$

　これらの問題の解き方をすぐに思い浮かばないあなたは、置き換えを『同じものを文字で置き換えること』と理解していますね？

　置き換えをする目的は、文字を減らすことです。

　この本質を理解していれば、置き換えの問題が楽勝になりますよ！

　この記事ではまず、置き換えをする目的『文字数を減らす』についてお話しします。

　その後で、置き換えが必要な問題3パターンの解き方を解説します。

【ポイント】展開の置き換えは文字を減らすためにする

　置き換えが必要な展開が難しく感じる人は、まず置き換えは文字を減らすために行うのだと理解しましょう。

　『展開の置き換え＝同じものを文字で置き換える』と理解している人は多いかと思います。

　実際、学校や塾でもそうやって教えられますよね。

　しかし『展開の置き換え＝同じものを文字で置き換える』とばかり思っていると、展開の応用問題でつまづいてしまいます。

　例えば以下のような問題で戸惑ってしまうことでしょう。

• 並べ替えが必要な問題
  $(x+2-y)(x-y-3)$
• マイナスでくくる問題
  $(a+2b-5)(a-2b+5)$
• 項が3つで2乗
  $(a+b+3)^2$

　このあと、それぞれの問題の解き方を解説します。

置き換えをする展開3パターンの解き方

　ここからは以下の3パターンについて、解き方を解説します。

①並べ替えが必要な問題

　一見、置き換え出来る場所がない！　と思うかもしれません。

　しかしかっこの中の文字を入れ替えれば、置き換え出来ます。

　$(x+2{\color{red}{-y}})(x-y-3)$

　$=(x{\color{red}{-y}}+2)(x-y-3)$

-yの位置を変えたら、『x-y』を置き換えられるようになったね！

②マイナスでくくる問題

共通する部分がないから置き換えできないよ？

　共通する部分がないように見えますが、項を見る限りなんかおしいですよね。

『2b』と『5』の符号が逆だから、置き換えできない

　符号が逆だけど項は同じ場合、マイナスでくくれば解決です！

マイナスでくくる

　『-2b+5』をマイナスでくくったら、『2b-5』という共通部分が現れたので置き換えができますね。

　解答は以下です。

③項が3つで2乗の問題

　項が3つの展開でも、置き換えを使って解けます。

共通の項とかないじゃん！

　そもそも置き換えは、文字を減らすために行うのでした。

　3つより2つの項の方が計算しやすいですよね？

　だから以下のように置き換えて、ラクに計算しましょう！

　置き換えを共通する部分に対してするものだと思っていると、3つの項の展開でどうやって置き換えていいかわからなくなります。

　そこで、置き換えは文字を減らすためだと理解すれば、この問いでも戸惑わずに置き換えを利用できますよね。

　以下、解答です。

まとめ

　展開で置き換えをする目的は、文字を減らすことです。

　文字を減らしたら計算がしやすいですよね。

　だから項を並べ替えたり、マイナスでくくったりして共通の項を作ってでも置き換えをするのです。

　また、項が3つの展開よりも2つの方がラクに計算できますよね。そのためにも置き換えを使います。

　置き換えを使う目的を正しく理解しましょうね。

　長方形の折り返しの問題は、中学2年数学の図形では応用問題にあたります。

　それまでで習った知識を使いこなせずに、難しいと感じている人が多いのではないでしょうか。

　この記事では、長方形の折り返し『角度』を求める問いが苦手な人に向けて、ポイントを5つ紹介します。

　この5つのポイントを意識すれば『どこから手を付ければ良いかわからない！』という悩みを解決でき、長方形の折り返し『角度』を求められるようになりますよ。

長方形の折り返し『角度』を求めるポイント5選

　長方形の折り返し『角度』を求めるポイントは次の5つです。

• 重なる角の角度は等しい
• 長方形の四隅は90°
• 三角形の内角と外角の関係
• 平行線の錯角と同位角
• 対頂角

　以下で詳しく解説します。

①重なる角の角度は等しい

　長方形の折り返しの問題で一番重要なのは、元の長方形に戻したときに重なる角の角度は等しいことです。

　これを知らないと、自力で問題を解くのは難しくなります。

②長方形の四隅は90°

　角度を求める問題では、既にわかっている角度を手がかりにして問題を解きますよね。

　その手がかりの一つとして、長方形の四隅は90°であることを忘れてはいけません。

そんなの言われなくてもわかってるよ！

　長方形の四隅が90°だなんて当たり前だと思うかもしれませんが、いざ長方形の折り返しの問題を解いてみると、意外と忘れてしまうものですよ。

③三角形の内角と外角の関係

　図形の問題で忘れてはいけないのは、三角形の内角と外角の関係です。

④平行線の錯角

　長方形の特徴といえば、四隅が90°であること以外になにがあるでしょうか？

長方形の向かい合う辺は平行だね！

　平行な直線があるということは、錯角を使えます。

　長方形の折り返しの問題では、とくに錯角をよく使いますよ。

⑤対頂角と同位角

　平行線の錯角ときたら、対頂角と同位角も押さえましょう。

　図形の問題では錯角だけでなく対頂角と同位角も手がかりになることがあるので、長方形の折り返しの問題に限らず、これらは頭に入れておきましょうね。

【例題】長方形の折り返しの角度

　ここからは長方形の折り返しの角度を求める問いを行います。

例題

四角形ABCDは長方形である。

x,yの角度を求めなさい。

　まずはxの角度について。

　四角形ABCDは長方形、ということは辺ADと辺BCは平行なので平行線の錯角がつかえます。

　xの角と錯角の関係にあるのは40°の角です。

　よってx=40°

　次はyの角度について。

　折り返した部分を戻せば、∠C’FEと∠EFCが重なるので、∠C’FE＝∠EFC

　x=40°と分かっているので、

　∠C’FE=$(180-40)×\frac{1}{2}=70°$

　また、∠C’と∠D’は長方形の四隅の角なので90°

　四角形C’D’EFで見ると、四つの角のうちy以外はわかっています。

　つまりy=360-(90×2+70)=110°

まとめ

　長方形の折り返しで角度を求める問いでは、この記事で紹介したポイントを全て押さえていれば、模範解答の通りでなくても何かしらの方法で答えにたどりつけます。

　例えばこの記事で紹介した例題では、yの角度は錯角のみを用いて解くこともできます。

　辺ADと辺BCが平行なことに加え、辺D’Eと辺C’Fが平行であることを考えると、錯角のみで答えにたどり着けますよ。

　スマートな方法でなくても諦めなければ正解できるので、様々な問題を解いて成功体験を積んでくださいね。

　半球の表面積を求める時は、半球のドームの部分と断面の部分をそれぞれ求めなければいけません。

　それって面倒だな、と思ったことはありませんか？

　実は、半球の表面積を一発で求める公式があるのです。

　この記事では、半球の表面積を一発で求める公式を紹介します。

　その公式が成り立つ理由も解説しているので、ぜひ最後まで読んでくださいね。

半球の表面積を求める裏技公式

　まずは半球の表面積を求める裏技公式をを紹介します。

　半球の表面積を$S=3×πr^2$と見ると、断面の円の面積は$πr^2$なので、半球の表面積は断面の面積の3倍だということですね。

裏技公式が成り立つことを確認

　半球の表面積は$S=3πr^2$、つまり断面の円の面積の3倍です。

　このことを、次の例題を用いて確認します。

　ここでは裏技公式ではなく、(球の表面積×1/2)+(断面の面積)をする方法で解きましょう。

　裏技公式を知らなければ、この方法で解くことになりますよね。

　ピンとこない人は、以下の記事を参考にしてください。

例題

次の半球の表面積を求めなさい。

ただし、半径はrとする。

　球の表面積を求める公式を覚えていますか？

球の表面積を求める公式は$4πr^2$だね！

　これは半球なので、$4πr^2$にさらに$\frac{1}{2}$するわけです。

　また、半球の断面を計算に加えるのを忘れてはいけません。

　半球の断面は円なので、球の半径を用いて断面の円の面積を用います。

　例題の半球の半径はrなので、表面積を求める式は以下のようになります。

　$πr^2$は断面の円の面積ですよね。

　半球の表面積を求めたら最終的に$3πr^2$となったので、半球の表面積は断面の円の面積の3倍になると言えます。

まとめ

　半球の表面積を求める公式を知らなければ、半球のドームの部分と半球の断面の部分の面積をそれぞれ求めなければいけないので面倒ですよね。

　しかしこの公式を知っていれば楽に解けます。

　それほど大変な暗記ではないので、ぜひ覚えておいてくださいね。