中学校に入った途端、数学なのにアルファベットが出てきて混乱しているあなたは必見！

　小学校の算数では『300円のケーキを5個買いました。代金はいくら？』のように、具体的な数字が出てきましたよね。

　しかし中学校の数学では『300円のケーキをx個買いました。代金はいくら？』のように言われ、小学校の頃と違ってイメージがしづらいですよね。

$ｘ個$ってなに！？

意味わかんない！

　そんなあなたのために、この記事では文字で式を表すことについて、初めからわかりやすく解説します。

　最初は、そもそも文字で表すとはなにか？文字の使い方を解説します。

　次に文字で式を表すときのルールを4つお話しします。

　最後にこの記事で習ったことが身についたか確かめるために、文字で式を表す問題を用意しました。

文字で式を表すとはなにか？文字の使い方を解説

　まずは、そもそも文字で式を表すとはなにか？を解説します。

　数学に出てくる文字『xやy』は、どんな数かはわからないからとりあえず書くためにあります。

　もちろん文字はxやyでなくてもOKです。

　例えば文字を使えば、鉛筆を何本買ったかわからない時に鉛筆の代金を式で表すことができます。

$100x(円)$？

$100×x(円)$じゃダメなの？

　文字を使った式では、×(かける)の記号を省略するというルートがあります。

　他にも絶対に押さえておかなければいけないルールがあるので、このあとで解説します。

文字で式を表すときのルール4選

　文字で式を表すときに、知っておかなければいけないルールがあります。

　細かいルールは一旦置いておいて、まずはこの5つのルートを覚えましょう。

①係数が1のときは1を書かない

　係数が1のときに、$1x$や$1a$などと書いたらダメです。

　係数が1のときは1を省略して、$x$や$a$と書きます。

　しかし、係数が0.1のときは0.1aと書きます。

③×(かける)を書かない

　1本100円の鉛筆をx本買ったとき、代金は？

かけ算をして、

$100×x(円)$？

　文字式では×(かける)の記号を省略します。

　よって、$100×x={\color{red}{100x(円)}$とします。

じゃあ、

1本a円の鉛筆をb本買ったとき、代金は……

$a×b={\color{red}{ab(円)}}$だね！

④同じ文字のかけ算は指数を使う

　文字式のルール③で、文字式では×(かける)を書かないとお話ししました。

　ルール③では異なる文字のかけ算を解説しましたが、ここでは同じ文字のかけ算について解説します。

指数の表し方がよくわからない

　同じ数がかけられていたら、かけられていた数を右上に書けばOKです。

⑤÷(わる)を書かない

　文字式では÷(わる)の記号を使いません。

　÷の代わりに、分数のかけ算で表します。

　次の問題を考えてみましょう。

　a÷3と書きたくなるところですが、文字式では÷の記号は使いません。

　a÷3を$a×\frac{1}{3}$として、$\color{red}{\frac{1}{3}a}$または$\color{red}{\frac{a}{3}}$とします。

【問題】文字で式を表す

　ここまでで習ったことを踏まえて、以下の問題を解いてみましょう。

　①について。

　300円のケーキをa個買いました。

　さらに箱代が50円かかります。

　代金はそれらを全部合わせて、

　$300×a+50$

　$=\color{red}{300a+50(円)}$

　②について。

　まず、三角形の面積を求める公式は覚えていますか？

三角形の面積は、底辺×高さ÷2！

　中学校からは、割り算は逆数のかけ算にするよう意識しましょう。

　底辺x(cm)、高さy(cm)なので、

　$x×y×\frac{1}{2}$

　$=\color{red}{\frac{1}{2}xy}$

$\frac{xy}{2}$でもいいんだね

まとめ

　算数の時は『100円の鉛筆を5本買った』のように、具体的な数が出てくるのでイメージがしやすかったと思います。

　しかし中学校から習う数学では具体的な数学ではなく、xやyがでてきてイメージしづらくなります。

　初めは慣れないかもしれませんが、文字式のルールや計算方法を少しずつ理解し、数学の世界を楽しめるようになってくださいね！

　半球の表面積を求める問いで間違えて、｢あれ？｣と思った人は多いのではないでしょうか。

　そんなあなたは、半球の断面を計算に加えているかどうかを確認してみましょう。

　塾講師の私の経験から、半球の断面を計算に加え忘れる人はとても多いのです。

　この記事では、半球の表面積の求め方を解説します。

　ポイントを意識して解けるように解説しているので、学校で習っても解き方がよくわからなかった人はぜひ読んでくださいね。

【前提知識】球の表面積を求める公式

　まずは球の表面積を求める公式を確認しましょう。

　忘れていた人は、必ず覚えてくださいね。

【例題】半球の表面積の求め方

　ここからは半球の表面積の求め方を、例題を用いて解説します。

　よくわる間違いも紹介しているので、自分が該当していないか確認してみてくださいね。

【ポイント】球の断面を忘れない

　ここからは例題を用いて、半球の表面積の求め方を解説します。

例題

次の半球の表面積を求めなさい。

　まずは半球の表面積を求めるポイントを教えますね。

　例題の半球の半径は8cmですね。

　これは丸々一個の球だと考えると、その表面積は$4πr^2$より$4π×8^2$です。

　半球なので、$4π×8^2$の$\frac{1}{2}$ですね。

　さらに、半球には断面があるので、半球の断面の面積も加えましょう。

　半球の断面は半径8cmの円なので、$8^2×π&ですね。

　以下で解答をまとめます。

よくある間違い

半球の表面積だから、$4πr^2$をした後に$\frac{1}{2}$すればいいんだ！

例題の式は｢$4π×8^2×\frac{1}{2}=128$｣で、

答えは｢128cm^2｣だ！

　塾講師の経験から、このように早とちりしてしまう中学生はとても多いです。

　半球の体積なら単に$\frac{1}{2}$をすれば良いのですが、表面積はそうはいきません。

　$4π×8^2×\frac{1}{2}$だけだと半球のドームの部分だけなので、断面が入っていませんね。

　必ず、断面の円の面積を計算に加えましょう。

まとめ

　塾講師の経験から、半球の表面積を求めるときに断面を計算するのを忘れる人が多いです。

　この記事を読んだあなたは、忘れないでくださいね。

　この記事では円柱と角柱の体積の求め方を解説します。

　底面が台形またはひし形の角柱の解き方は、台形やひし形の面積の求め方から解説しています。

　小学校で習った内容に自信がない人でも安心して読んでくださいね。

【基本】円柱・角柱の体積の求め方と単位

　まずは円柱・角柱を求める公式と単位を確認しましょう。

円柱・角柱を求める公式

　円柱と角柱の体積を求める公式は『底面積×高さ』です。

　円柱や角柱は、底面積が積み上がって出来ていると考えましょう。

　底面積が円柱や角柱の高さの分だけ積み上がっているため、体積を求めるには『底面積×高さ』をすれば良いということです。

体積を表す単位

　体積を表す単位は『$cm^3$』『$m^3$』です。

　読み方は『立方りっぽうセンチメートル』『立方りっぽうメートル』なので、覚えておいてくださいね。

ちなみに面積は『$cm^2$』『$m^2$』で、

読み方は『<ruby>立方<rt>りっぽう</rt></ruby>センチメートル』『<ruby>立方<rt>りっぽう</rt></ruby>メートル』ですね。

【例題】円柱・角柱の体積

　ここからは例題を用いて円柱・角柱の体積の求め方を解説します。

例題

　次の円柱・角柱の体積を求めよ。

①円柱

　底面は円なので、$3×3×π$

　高さは10cmなので体積は以下の式で求めます。

　$\color{red}{3×3×π×10=90π(cm^3)}$

②四角柱

　底面は長方形なので、$6×5$

　高さは12cmなので体積は以下の式で求めます。

　$\color{red}{6×5×12=360(cm^3)}$

③台形の角柱

　台形の面積の求め方を覚えていますか？

Information

【台形の面積の求め方】

$台形の面積=(上底＋下底)×高さ×\frac{1}{2}$

　底面は台形で、上底が5cm、下底が7cm、高さが10cmなので、底面積は以下の式になります。

　$(5+7)×10\frac{1}{2}$

　角柱の高さは15cmなので、体積は以下の式です。

　$\color{red}{(5+7)×10×\frac{1}{2}×10=600(cm^3)}$

④ひし形の角柱

　ひし形の面積の求め方を忘れている人は、ここで確認しましょう。

Information

【ひし形の面積の求め方】

$ひし形の面積=対角線×対角線×\frac{1}{2}$

　底面はひし形で、対角線は10cmと8cm

　よって底面積は$10×8×\frac{1}{2}$

　さらに角柱の高さが5cmなので、体積は以下の式です。

　$\color{red}10×8×\frac{1}{2}×5=200(cm^3)}$

まとめ

　体積と同時に表面積の求め方も習います。

　ということは、テストでは体積と表面積が同時に出ることになります。

　表面積よりも体積の方が簡単に求められるので、体積を求める問いは確実に正解できるよう問題演習をしていきましょうね。

　また底面積が台形やひし形の場合、それらを求める公式を覚えていないと解けないので、公式もしっかり暗記しましょう。

　円柱の体積を求めるのは簡単でも、表面積を求める方法はなかなか理解できない人がいることでしょう。

　特に、円柱の側面積を求めるために、底面の円の円周を用いる方法がわかりにくいですよね。

　この記事では円柱の表面積の求め方を解説します。

　特に難しい『側面積の求め方』を図を用いて解説しているので、図形が苦手な人でも安心して読んでくださいね。

　また、学校で習うやり方だけでなく、覚えておくと便利な『円柱の表面積を求める裏技公式』も紹介しています。

【学校で習う】円柱の表面積の求め方

　まずは学校で習う円柱の表面積の求め方を解説します。

　円柱の表面積は次の3ステップで求めます。

• 展開図を描く
• 長方形の横＝円周
• (円の面積×2+長方形の面積)で円柱の表面積を求める

　次の例題を用いて解説します。

例題

　底面の円の半径が3cm、高さが10cmの円柱がある。

　この円柱の表面積を求めよ。

【STEP1】展開図を描く

　円柱の表面積を求めるため、まずは円柱の展開図を描きましょう。

　慣れてきたら、省略しても構いません。

　円柱の展開図を描くと、円柱は2つの円と1つの長方形でできているのがわかりますね。

円柱の表面積は『2つの円の面積+1つの長方形の面積』で求められるんだね！

【STEP2】長方形の横＝円周

　円柱の表面積を求めるために、2つの円の面積と1つの長方形の面積をそれぞれ求めます。

　円の面積は、半径がわかっているので問題ないでしょう。

　そうなると問題は、長方形の部分(円柱の側面積)です。

長方形の縦の長さは円柱の高さと同じだね。

でも長方形の横の長さがわからないよ？

　この長方形は円柱の側面積ですよね。

　長方形の横の部分は底面の円周とぴったり重なっているので、円周の長さを求めれば長方形の長さがわかります！

　円の半径が3cmなので、円周の長さは

　$2×π×3$

　$=6π(cm)$

【STEP3】(円の面積×2+長方形の面積)で円柱の表面積を求める

　さて、STEP2で長方形の横の長さがわかったので、いよいよ円柱の表面積を求められます。

円柱の表面積は、

円の面積2つと、側面の長方形の面積を足せばいいね！

　では、計算していきましょう。

　(円の面積)×2+長方形の面積

　$3×3×π×2+10×6π$

　$=78π$

　よって答えは$\color{red}{78π(cm^2)}$

【裏技】円柱の表面積を求める公式

　ここまでは教科書に載っている、基本的な解き方を解説しました。

　でもこの解き方、ちょっと大変でしたよね？

もっとラクに円柱の表面積を求める方法、ないかなー。

　あるんです実は！

　これで、上の例題を解いてみましょう。

例題

　底面の円の半径が3cm、高さが10cmの円柱がある。

　この円柱の表面積を求めよ。

　$S=2πr(r+h)$だから、

　$S=2π×3×(3+10)$

　$=6π×13$

　$=78π(cm)$

　基本的な解き方と答えが同じになりましたね。

まとめ

　円柱の表面積を求める基本的な方法は、説明をよく読めばわかりやすいですよね。

　しかし、円柱の表面積を求めるには公式を用いた方が便利だと思いますよね。

　公式を覚えるとラクに問題を解けますが、公式は忘れるリスクがあります。

　基本的な解き方を理解した上で、公式での解き方に挑戦してくださいね。

　一次方程式の利用で文章題を解いている中学生のあなた！

　一次方程式の問題なのに、突然比例式が出てきて戸惑っていることでしょう。

　この記事では中学生のあなたに向けて、一次方程式の利用『比例式』の解き方2つを解説を解説します。

　比例式についての基礎知識は大丈夫！　という人は比例式を含む一次方程式の例題から読んでくださいね。

【前提知識】比例式とは何か

　比例式は、『男子：女子＝2:1』のように使います。

　例えば、男子と女子の人数の比が2:1であると言われれば、男子は女子の2倍いるという意味ですよね。

　比例の意味について詳しく知りたい人は、以下の記事を読んでください。

【公式】比例式$a:b=c:d$の解き方

　ここからは比例式を解く公式を確認しましょう。

　比例式を解く公式が2つあるということは、一次方程式の利用『比例式』の解き方も2通りあります。

　どちらの公式を使うとしても、比例式を一次方程式に変形することは共通しているのがポイントです。

①$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

　まずは比例式を分数で表す公式です。

②$ad=bc$

　$a:b=c:d$を$ad=bc$に変形する公式は、今後よく使います。

　この場で必ず覚えてくださいね。

　$a:b=c:d$の外側『aとd』、内側『bとc』をかけ算します。

【例題】一次方程式の利用『比例式』の解き方2つ

　ここまでで、比例式の解き方が2通りあることを解説しました。

　どちらの公式を使うとしても、比例式を一次方程式に変形することは共通しているのがポイントでしたね。

　ここからはその2通りの解き方を使って、一次方程式の利用『比例式』を解いていきましょう。

　解説・解答は以下です。

解き方①『分数で表す』

　まずは比例式を分数で表す方法を学習しましょう。

　比を分数で表す公式は$a:b=c:d⇔\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$でしたね。

　男子の人数を$x人$と置くと、以下のような式ができます。

　$3:2=x:10$

　これを

　$a:b=c:d$
　⇔$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

　の公式を用いて分数で表すと、以下のようになります。

　$3:2=x:10$

　$\frac{3}{2}=\frac{x}{10}$

　$\frac{3}{2}×10=\frac{x}{10}×10$

　$x=15$

　よって答えは男子15人

解き方②『外×外、内×内』

　次は『外×外、内×内』の解き方をやってみましょう。

　公式は$a:b=c:d⇔ad=bc$でした。

　男子の人数を$x人$と置くと、以下のような式ができるのは一緒です。

　$3:2=x:10$

　ここから$a:b=c:d⇔ad=bc$のように変形しましょう。

　$3:2=x:10$

　$3×10=2×x$

　$x=15$

　こうして解き方①『分数で表す』と同じ答えが出ましたね。

　答えは男子15人

まとめ

　一次方程式の利用なのに、突然比例式が出てきて戸惑っていたことでしょう。

　しかし比例式を変形すれば、一次方程式になります。

　結局、比例式が出てこようが一次方程式の問題であることには変らないのです。

　比例式の解き方は、今後『②外×外、内×内』ばかりを使うことでしょう。

　しかし比例式を『①分数で表す』解き方も役立つときが来るので、どちらの解き方もマスターしてくださいね。

　比とは、あるもの同士の数量の関係を表しています。

　数量の関係なので、数量そのものを表しているわけではありあません。

そう言われてもよくわからないよー！

　そんなあなたのために、まず比とは何か？　を塾講師の私が詳しく解説します。

　その後で比の表し方のポイント2つを解説するので、この記事を読めば比の基礎的な内容を理解できますよ！

比とは何か？わかりやすく解説

　まずは比とは何か？　を理解していきましょう。

　ポイントは以下の2つです。

　以下で詳しく解説します。

①比とは『あるもの同士の数量の関係』のこと

　比とは『あるもの同士の数量の関係』のことです。

　比は『男子:女子＝2:1』のように使いますよね。

『2:1』は『2たい1』と読みます

　さて、『男子と女子の人数の比が、男子:女子＝2:1』と書かれていた場合、これはどんな意味でしょうか。

　これは男子の方が2、女子の方が1という意味で、男子の人数が女子の人数の2倍であるという意味です。

2÷1＝2だから、

男子の人数が女子の人数の2倍ってことなんだね

　つまり、

　男子:女子＝3:1なら、男子の人数が女子の人数の3倍ということ。

　では、男子:女子＝5:2とはどういう意味でしょうか？

5÷2＝2.5だから、

男子の人数が女子の人数の2.5倍ってことだ！

　以上のように、比とはある物事の数量の関係を表しているのです。

　例えば、『男子と女子の人数の比が、男子:女子＝2:1』なら、男子の人数が女子の人数の2倍であるという関係ですね。

②比は数量そのものを表しているわけではない

　比とはあくまでも数量の『関係』であって、数量そのものではありません。

　例えば、『男子と女子の人数の比が、男子:女子＝2:1』と書かれていた場合、男子と女子はそれぞれ何人いると思いますか？

男子が2人、女子が1人じゃないの？

　『男子:女子＝2:1』と書かれているからといって、男子が2人、女子が1人とは限りません。

　なぜなら、比はあくまでも『ある物事の数量の関係』を表しているに過ぎないからです。

　さて、『男子:女子＝2:1』とはどういう意味でしたか？

男子が2、女子が1だから、

2÷1=2で、男子が女子の2倍いるって意味だったね

　つまり『男子:女子＝2:1』とだけ書かれていたら、男子と女子がそれぞれ何人いるかはわかりません。

　男子が女子の2倍いるという関係しかわからないので、

　男子2人、女子1人かもしれないし、

　男子4人、女子2人かもしれないし、

　男子6人、女子3人かもしれません。

　以上のように、比は数量そのものを表しているわけではないので、『男子:女子＝2:1』と書かれているからといって、男子が2人、女子が1人とは限らないのです。

　とはいえ本当に男子2人、女子1人の可能性もあるので、それは時と場合により判断してくださいね。

比の表し方のポイント2つ

　ここからは、比の表し方を解説します。

　比を表すポイントは2つです。

　以下で詳しく解説します。

①『○:△=○の比:△の比』と表す

　これは男子：女子＝3:2でOKです。

　比が男子：女子＝3:2で、それぞれの人数も男子3人、女子2人というパターンですね。

男子：女子＝2:3じゃダメなの？

　『男子：女子』と男子が先に書かれているので、＝の右側も、『3:2』と男子からか書かなくてはなりません。

　ただし『女子：男子＝2：3』なら正解です。

②比はできるだけ簡単な数で表す

　例題①と同じように解いたら、比はどうなるでしょうか？

男子：女子＝10:5

だね！

　実は男子：女子＝10:5と書いたら×です。

　比の表し方には、以下のようなルールがあります。

　男子：女子＝10:5というと、男子の方が多いですよね。

　では、男子は女子よりどれくらい多いでしょうか？

10÷5=2だから、

男子は女子の2倍いるってことだね

　つまり男子は女子の2倍いることを、できるだけ簡単な整数を用いて表せれば良いのです。

　とはいえ、難しく考えなくても大丈夫です。

　できるだけ簡単な整数を用いて表すために、比を最大公約数で割りましょう。

　男子：女子＝10:5なので、10と5の最大公約数5で割りましょう。

ということは

男子：女子＝10:5

は

男子：女子＝2:1

だね！

　よって答えは男子：女子＝2:1

まとめ

　比って何？　と聞かれても、上手く答えられない人が多かったかと思います。

　特に小学生であれば、比は具体的な数量を表しているわけではないので混乱しやすいでしょう。

　比の意味を理解し、比の問題を解けるようにしていきましょう。

　空間図形の体積や表面積を求める問題の中で、一番難しいのは円錐の表面積を求める問題でしょう。

　問題集の解説を読んでみてもよくわからない！　という人が多いのではないでしょうか。

　円錐の表面積を求めるには、円錐の展開図やおうぎ形の面積を求める公式といった前提知識が必要です。さらに、それらを使いこなせないと解くことができないのです。

　この記事では円錐の表面積の求め方を、前提知識からわかりやすく解説します。

　さらに円錐の表面積の求め方の裏技も紹介します。

　この記事を読めば円錐の表面積を求めるポイントがわかり、さらに裏技を覚えて周りと差を付けられますよ！

円錐の表面積を求めるのに必要な知識3選

　円錐の表面積を求めるには以下の前提知識が必要です。

　ドキッとするものがあったら、以下の解説を読んでください。

①円錐の展開図

　円錐の展開図はイメージできますか？

　このように、円錐の展開図は円の部分とおうぎ形の部分に分かれます。

②円の面積を求める公式

　円の面積を求める公式は大丈夫ですか？

　お馴染みの『半径×半径×円周率』を文字で表したものです。

　半径はrで、円周率はπなので、

　$半径×半径×円周率＝r×r×π＝πr^2$

　となるのです。

③おうぎ形の面積を求める公式と弧の長さを求める公式

　おうぎ形の面積を求める公式は以下です。

　おうぎ形の面積を求める公式の$πr^2$の部分が、円の面積と似ていますね。

　また、弧の長さを求める公式の$2πr$

　その理由は以下の記事に書いてあります。

円錐の表面積の王道の求め方と裏技を解説

　ここからは円錐の表面積の求め方を2パターン紹介します。

　初めは中学校で習う王道の求め方を解説します。

　次に公式を使った裏技を紹介します。

　裏技の方が解き方としてはラクですが、公式を忘れてしまったら解けません。

　テストで忘れてしまったら大変なので、裏技だけ読むのではなく王道の求め方から理解してくださいね。

【王道の求め方】側面の中心角aを求める

例題

　円錐の表面積を求める手順は以下です。

①展開図を描く(慣れたら省略OK)

　角錐とは違って、円錐は側面積を求めるイメージがつきづらいですよね。

　そこで、円錐の展開図を描いてみましょう。

　このように、円錐は円とおうぎ形でできているので、それぞれの面積を求めて足せば、円錐の表面積を求められます。

②側面のおうぎ形の中心角aを求める

　円の面積は問題ないでしょう。

　難しいのは、おうぎ形の面積を求めることです。

　おうぎ形の面積を求める公式は以下です。

　$S=πr^2×\frac{a}{360}$

半径は問題に書いてあるけど、中心角がわからない！

　つまり、おうぎ形の面積を求めるためには、おうぎ形の中心角aを求める必要があります。

　その中心角を求めるため、おうぎ形の弧の長さを求める公式を用います。

　$弧の長さl=2πr×\frac{a}{360}$

　実は問題文の条件から、おうぎ形の弧の長さを求められます。

　半径も13cmとわかっていますから、半径と弧の長さを公式に代入すれば、一次方程式のようにaを求められます。

　まず、おうぎ形の弧の長さを求めましょう。

　おうぎ形の弧の長さは、円周の長さと同じです。

　つまりおうぎ形の弧の長さは、円周の長さ$\color{red}{2πr=2×π×6=12πcm}$です。

　この$12π$とおうぎ形の半径18cmを、おうぎ形の弧の長さを求める公式に当てはめ、中心角aを求めます。

　$弧の長さl=2πr×\frac{a}{360}$より

　$12π=2π×18×\frac{a}{360}$

　$12π×360=36π×a$

　$a=120$

　このようにして、おうぎ形の中心角の大きさがわかりました。

③おうぎ形の面積を求め、円の面積と足す

　円錐の表面積は(おうぎ形の面積)+(円の面積)で求められます。

　おうぎ形の面積は②で求めた中心角a=120°と、半径18cmを用いて求めます。

　また円の面積は、円の半径6cmを用います。

　円錐の表面積をSとする。

　(円錐の表面積)=(おうぎ形の面積)+(円の面積)なので

　$S=18^2×π×\frac{120}{360}+6^2×π$

　$S=324π×\frac{1}{3}+36π$

　$S=108π+36π$

　$S=144π$

　よって円錐の表面積は$\color{red}{144π}(cm^2)$

【裏技】円錐の側面積を求める公式

　円錐の表面積を求める問いで難しいのは、円錐の側面積を求めるため、おうぎ形の中心角を求めなければならないことです。

　実は、面倒な計算をしなくても一発で円錐の側面積を求める公式があるのです。

円錐の側面積を求める公式

円錐の側面積をS、母線を$l$、底面の半径をrとする。

$S=πlr$

　この公式は円錐の表面積のおうぎ形に使える公式です。

　普通のおうぎ形の面積を求める時には使えないので注意です。

　この公式を使って、さっきと同じ例題を解いてみましょう。

例題

　円錐の表面積は$S=πlr$で求められます。

　母線$l$=18cm、底面積の半径r=6cmなので、公式に当てはめると以下のようになります。

　$S=π×18×6$

　$S=108π$

　以上より側面積は$108π(cm^2)$です。

　底面の円の面積は$6^2π=36π$ですね。

　よって円錐の表面積は$108π+36π={\color{red}{144π(cm^2)}}$

　側面の中心角aを求める方法と答えが一致しましたね。

公式を使った方がラクじゃん！

　確かにこの裏技を知っていれば圧倒的に早く解けます。

　しかし公式を新たに覚えなければならないので、公式を忘れるリスクがあります。

　また、側面の中心角を求める方法で用いる『底面の円周と側面のおうぎ形の弧の長さが一致するという考え方』は、今後色々な問題で使います。

　裏技を使うのは、側面の中心角を求める方法を理解した上でお願いしますね。

まとめ

　円錐の側面積の求め方についてまとめます。

　表面積を求める問題は計算が複雑になるのでミスしやすいです。

　特に円錐の表面積を求める問いは中心角を求める必要があるので、計算過程が多くよりミスをしやすいです。

　公式を覚えてさえいれば簡単に計算できるのでミスを防げますが、肝心の公式を忘れてしまっては解答できないので、面倒でも王道の解法をしっかり理解してくださいね。

　おうぎ形の面積や弧の長さの公式は、何度覚えても忘れてしまうという人が多いかと思います。

　しかし、円の面積や円周の長さの公式はバッチリ覚えているのではないでしょうか。

　実は円の面積や円周の長さの公式を覚えていれば、忘れがちなおうぎ形の面積や弧の長さの公式を簡単に覚えられるのです！

　この記事では円の面積や円周の長さの公式と関連づけて、おうぎ形の面積や弧の長さの公式を解説します。

　この記事を読めば公式を覚えられ、さらに忘れにくくなるような知識を得られますよ！

【完璧ですか？】おうぎ形の面積・弧の長さの公式を覚えるための前提知識

　おうぎ形の面積・弧の長さの公式を忘れないようにするため、前提となる知識を解説します。

• おうぎ形とは何か？
• おうぎ形の弧、半径、中心角
• 円の面積・円周の長さの公式

　以下で詳しく解説します。

おうぎ形とは何か？

　そもそもおうぎ形とは何か説明できますか？

せんすやイチョウみたいな形だよね

　おうぎ形の公式を覚えるために、おうぎ形は円の一部だと理解しましょう。

　例えばピザです。

　ピザ一枚が円だとしたら、取り分けるためにカットした一切れがおうぎ形です。

　また、円の中心とおうぎ形の先は一致します。

　みんなでピザを切り分けるとき、同じ大きさに分けるにはピザ1切れの先っぽは円の中心にしますよね。

おうぎ形の弧、半径、中心角

　次に、おうぎ形の用語について解説します。

　おうぎ形は円の一部だとお話しましたね。それを踏まえて解説します。

　おうぎ形の弧は円周の一部で、中心角は円の角度の一部です。

　さて、円は何度ですか？

360°！

　当たり前ですが、中心角が360°を超えることはありません。

　また、おうぎ形は円の一部なので、おうぎ形の半径＝円の半径です。

円の面積・円周の長さの公式

　おうぎ形の面積と弧の長さの公式は、おうぎ形が円の一部であることを元に作られています。

　そこで、おうぎ形の面積や弧の公式を学ぶ前に、円の面積と円周の長さを求める公式を確認しましょう。

　実は円の公式は小学生の頃に習っています。

　上の公式でピンと来なかった人でも、これなら聞き覚えがあるのではないですか？

　円の面積＝半径×半径×3.14

　円周の長さ=直径×3.14

　小学生の時に習った公式を$r$や$π$を用いて表したのが$πr^2$や$2πr$なのです。

【公式の覚え方】おうぎ形の面積・弧の長さ

　ここからはおうぎ形の面積と弧の長さの公式を解説します。

　2つの公式の前半$πr^2$は円の面積の公式、さらに$2πr$は円周の公式であることがポイントです。

$\frac{a}{360}$はどういうこと？

　それは次の例題で解説します。

　おうぎ形は円の一部だとお話しましたね。

　では『半径10cm、中心角30°のおうぎ形』は、どんな円の一部でしょうか？

　このおうぎ形は、半径10cmの円の一部です。

　つまり、『半径10cm、中心角30°のおうぎ形』の面積を求めるには、『半径10cmの円』の面積を求めてから、中心角30°分の面積を求めればよいのです。

　また、弧の長さを求めるには『半径10cmの円』の円周を求めてから、中心角30°分の弧の長さを求めればよいです。

中心角30°分の面積や弧の長さを求めるにはどうすればいいの？

　円は全部で360°ですよね。そのうちの30°なので、$\color{red}{{\frac{30}{360}}$をかければOKです。

　以下、解答です。

　半径10cm、中心角30°のおうぎ形の面積は、

　$10^2×π×\frac{30}{360}$

　$=\frac{25}{3}π(cm^2)$

　また、弧の長さは

　$2×10×π×\frac{30}{360}$

　$=\frac{3}{5}π(cm)$

単位の付け忘れに注意だね！

まとめ

　おうぎ形の面積と弧の長さの公式についてまとめます。

　おうぎ形は円の一部であることを理解すれば、おうぎ形の公式を覚えるのに苦労はないはずです。

　円の公式と関連付けながら、おうぎ形の公式を理解しましょう。

　割合は算数の中でもとくに難しい単元です。

　割合を難しく感じる要因はいくつかありますが、そのうち一つが『割合では全体を1とする』という考え方でしょう。

　この考え方は割合を百分率に変換する際に用いるため、必ず暗記しなければなりません。

　しかし、なぜ割合では全体を1とするのかがわからないとすっきりしないですよね。

　この記事では割合では全体を1とする理由を、具体例を用いながら解説します。

　また割合と百分率の関係も解説するので、割合と百分率の変換もできるようになりますよ！

割合で全体を1とする理由を具体的に解説

　割合で全体を1とする理由は、『比べるため』です。

　まずは割合で全体を1とする理由を詳しく解説し、その後で全体を1として割合を求めます。

割合で全体を1とする理由は『比べるため』

　『割合で全体を1とする』の『全体』とはなんのことか。

　全体とはお馴染みの『元にする数』のことです。

　つまり割合では、元にする数を1とするということです。

　では、なぜ全体＝元にする数を1としなければならないのでしょうか。

　以下の例を見てみましょう。

　国語が好きな人の数は1年生の方が多いです。

　しかし、1年生は全体で100人、2年生は全体で70人です。

　このとき、単純に国語が好きな人数だけを比べて、1年生の方が国語の好きな人が多いとは言えませんよね。

　そこで、1年生と2年生それぞれで『1人当たりの国語が好きな気持ち』がどれくらいなのか？を考えるのです。

　つまり『全体を1とする』の『1』とは、この問いでは『1人あたり』の『1』なのです。

　1年生なら30人分、2年生なら28人分の国語が好きな気持ちを、学年全体で分けます。

　このとき、一人当たりに振り分けられた国語が好きな気持ちが多い学年のほうが、国語が好きな人が多いと言えます。

　元にする数1つあたり、比べられる数がどれくらいあるか……これが割合なのです。

　この例でいうと生徒1人あたり国語が好きな気持ちがどれくらいあるかを割合で表すことになります。

全体を1として割合を求める方法

　では実際に1年生と2年生それぞれで、国語が好きな人の数の割合を求めてみましょう。

　まずは1年生の中で国語が好きな人の割合を求めます。

　1年生1人当たりに、どれくらい国語が好きな気持ちがあるかを調べるためには以下のように割り算をします。

　$(国語が好きな人の数)÷(1年生全員の数)＝(1人当たりの国語が好きな気持ち)$

　つまり割合の公式でいう『国語が好きな人の数』が『比べられる数』、『1年生全員の数』が『元にする数』、『一人当たりの国語が好きな気持ち』が『国語が好きな人の割合』です。

　実際に計算してみましょう。

　$30÷100＝0.3$

　つまり1年生の国語が好きな人の割合は『0.3』です。

　次は2年生中で国語が好きな人の割合を求めます。

　1年生のときと同じように考えると$(国語が好きな人の数)÷(2年生全員の数)＝(1人当たりの国語が好きな気持ち)$のように計算することになりますよね。

　以下で計算します。

　$28÷70＝0.4$

　つまり2年生の国語が好きな人の割合は『0.4』です。

　1年生の国語が好きな人の割合は『0.3』で、2年生の国語が好きな人の割合は『0.4』です。

　つまり1年生の1人当たりの国語が好きな気持ちは0.3、2年生は0.4。

　よって、2年生の方が国語が好きな人の数が多いと言えます。

　このように元にする数が違う集団同士で比べるときに割合を活用します。

　しかし、『1年生の中で国語が好きな人の割合は0.3』のように言うのは聞きなじみがないですよね。

　『1年生の中で国語が好きな人は30％』の方が聞き覚えがあるはずです。

　ここから先では、『割合』と『○○％の数』、つまり『割合』と『百分率』の関係について解説します。

『割合』と『百分率』の関係

　ここからは百分率とは何かを解説し、『割合』と『百分率』の関係を図解します。

百分率とは何か

　百分率とは『10％』や『100％』など、『％(パーセント)』を用いて表すことです。

　文章題の最後に、割合を百分率で答えなさいと指示があった場合は、割合を求めたあとで百分率に変換します。

　割合と百分率の関係を、以下で簡単に示します。

　割合と百分率になぜこのような関係があるのかは、以下で図を用いて解説します。

【図解】割合と百分率の関係

　割合で全体を1とする考え方は、百分率を考える上でも重要です。

　上の例題では、『1人あたりの国語が好きな気持ち』を求めることで国語が好きな人の割合を調べました。

　言い換えると、国語が好きな気持ちを学年全体に均等に振り分けたとき、1人あたりの国語が好きな気持ちの量が割合となりましたよね。

　ここからは1人あたりの国語が好きな気持ちを百分率で表していきます。

　もし、1人当たりの国語が好きな気持ちが、頭からつま先までぜんぶ埋まったらどうなるでしょうか。

　国語が好きな気持ちを全員に分けた上で、1人あたりの気持ちが頭からつま先までぜんぶ埋まるということは、全員国語が好きということ。

　つまり国語が好きな割合は1、百分率でいうと100％です。

　また、もし1人当たりの国語が好きな気持ちが。つま先からおへそまで埋まったらどうなるでしょうか。

　国語が好きな気持ちがつま先からおへそまで埋まるということは、1人あたり半分なので割合は1÷2で『0.5』ですね。

　つまり国語が好きな割合は0.5、百分率でいうと50％です。

割合⇔百分率の変換のしかた

　ここまでで割合と百分率の関係が視覚的にわかるよう解説してきました。

　ここからは実践的な解説します。割合から百分率、また百分率から割合へ変換する計算の方法を見ていきましょう。

　上で見てきたように、割合と百分率には以下のような関係がありました。

　割合と百分率の数字を見比べてみると、百分率は割合の100倍になっています。

　逆に割合は、百分率の1/100倍です。

　つまり割合⇔百分率の変換は以下のように計算すればできます。

まとめ

　割合では全体を1とする理由と、割合と百分率との関係についてまとめます。

　割合は難しい単元ですが、なんのための計算なのか？が理解できればとくに悩むことはありません。

　割合の意味がわかれば、公式さえも不要なのです。

　割合の問題を解くために、必死に『くもわ』に数字を当てはめようとしていませんか？

　立派な公式があるのに、なぜあなたは割合の問題が苦手なのでしょうか。

　それは、あなたはもとにする数・比べられる数、そして割合の意味を理解していないからです。

　もとにする数・比べられる数・割合を求める問題は、それらの意味を理解していれば、ただのかけ算、割り算です。

　この記事を読めば、くもわに頼らず、割合の問題を解けるようになりますよ！

　まず、もとにする数・比べられる数・割合とは何かを図解します。

　その後で、もとにする数・比べられる数・割合を求める例題を紹介します。

(2026/3/30 加筆修正)

【図解】もとにする数・比べられる数・割合とは何か？【くもわ不要】

　まずはもとにする数・比べられる数・割合とは何かを解説します。

　ある果物屋を例に、もとにする数・比べられる数・割合を考えてみましょう。

　果物屋に売っている全ての果物の数を基準(もとにする数)とすると、それぞれの果物の割合を計算で求められます。

　割合とは、比べられる数がもとの数の何倍か？　を表しています。

　つまり割合を求めるためには、比べられる数÷もとの数でいいわけです。

　上図の果物屋のように、売っている果物が10個、そのうちミカンが2個の場合を考えましょう。

　ミカンの割合を求めるには、ミカンは、売っている果物全部の何倍かを求めればいいわけです。

　よってミカンの割合は、

　$2÷10=0.2$

　ミカンは売っている果物全部の0.2倍、つまり20％となります。

もとにする数・比べられる数・割合を求める

　もとにする数・比べられる数・割合を求める問題をやってみましょう。

　ポイントはたった1つ。

　割合とは、比べられる数はもとにする数(基準)の何倍か？　を表す。

　それを踏まえて、以下の問題を解きましょう。

【問1】比べられる数を求める

　問題文をよく読み、もとにする数・比べられる数・割合がどれかを考えましょう。

　まずわかりやすいのは割合ですね。％がついているから、60％が割合、と言えるでしょう。

　ここで、忘れずに60％を小数に直しましょう。

　よって、割合＝0.6です。

　さらに、この割合は野球クラブ全員を基準としています。

　野球クラブ全員を100％とすると、その60％が5年生ということ。

　よって、もとにする数＝50です。

　割合とは、比べられる数がもとの数の何倍か？　を表しているのでした。

　つまり、5年生の人数は、野球クラブ全員の人数の0.6倍であるということ。

　よって、5年生の人数(比べられる数)は、

　$50×0.6={\color{red}{30人}}$

【問2】割合を求める

　割合とは、比べられる数がもとの数の何倍か？　を表しているのでした。

　では、もとにする数と比べられる数はそれぞれなんでしょうか？

　もとにする数は割合の基準になる数なので、5年3組は全員(30人)です。

　また、比べられる数は割合を知りたい数なので、女子の数(12人)。

　女子の数が５年３組全員の数の何倍かを知るためには、どんな計算をすればいいでしょうか。

　そう、割り算ですね。

　よって女子の割合は、

　$12÷30=0.4$

　よって40%

【問3】もとにする数を求める

　学級文庫の20％が伝記であることを図にすると、以下のようになります。

　割合とは、比べられる数がもとにする数の何倍か？　を表しているのでした。

　伝記の数は学級文庫の数の20％です。

　ということは、伝記の数は学級文庫全部の数の0.2倍ということです。

　学級文庫の数を□冊とすると、

　$□×0.2=10$と表されます。

　よって$10÷0.2=50$

　よって学級文庫の数は50冊

まとめ『くもわ不要！もとにする数・比べられる数・割合とは』

まとめ

• 割合とは『比べられる数はもとにする数の何倍か？』
• もとにする数とは『割合の基準になる数』
• 比べられる数とは『割合を知りたい数』

　割合の意味がわかっていれば、割合の問題は全て単純なかけ算・割り算の問題になります。

　やみくもに『くもわ』に当てはめるのではなく、もとにする数・比べられる数・割合の意味を理解しましょう。

　割合と同じように、『速さ』も公式が不要です。

　ぜひ、速さも勉強していってくださいね。