この等式を、aについて解きましょう。

　日常生活では聞き慣れない言い回しなので、どうやって問題を解けば良いかわかりにくいですよね。

分母を払ったり、両辺を文字で割ったりするのも大変……

　文字について解く問題では、今までで習った数学の中で特に計算が難しいと感じる人が多いはずです。

　しかし文字について解くこと自体は、中1の一次方程式ですでにやっています。

　さらに分母を払ったり両辺を文字で割ったりする計算も、一次方程式が解けるなら、そこまで難しい計算ではありません。

　この記事では文字について解く問題の解き方を3つ紹介します。

　計算が難しいと感じる人向けに分母を払う・文字で割る計算のやり方もお話ししているので、数学が苦手な人も安心して読んでくださいね。

『文字について解く』はすでに中1でやっている！

　中2でいきなり、『aについて解きましょう』『Sについて解きましょう』などと言われて、難しいと感じているあなたへ。

　文字について解く問題自体は、中1ですでにやっています。

　そう、一次方程式です。

　『aについて解きましょう』と言われたら、一次方程式のように『a=～』と表し、『Sについて解きましょう』と言われたら『S=～』と表せばOKです。

　一次方程式は解けますか？

　答えは$x=3$ですね。

　一次方程式だって、この問いではxについて解いているのです。

　つまり文字について解けとは、その文字がどう表されるのかを答えてね、ということなのです。

　例に挙げた一次方程式では、xは3と表されます。

【前提知識】分母を払う・文字で割るが出来ますか？

　文字で表す問題で難しいのは、分母を払う操作と、文字で割るという操作です。

　自信がないという人は、それらのやり方も読んでくださいね。

　分母を払う、文字で割ることに問題はない人は読み飛ばしてOKです。

①分母を払う

　方程式で分数を見たら、分数を整数に変えることを考えましょう。

　$\frac{1}{3}$を整数にするため、ある数をかけましょう。

$\frac{1}{3}$に3をかけたら、整数の1になるね！

　分数を整数にかえるためのかけ算は、方程式の両辺に行います。

　以下のような分数を整数にかえるための計算を、分母を払うといいます。

　$\frac{1}{3}x=6$

　$\frac{1}{3}x{\color{red}{×3}}=6{\color{red}{×3}}$

　$x=18$

②文字で割る

　xについて方程式を解くということは、答えは$x=～$になります。

　そうなると、xの係数であるaが邪魔ですよね。

　係数が文字であっても、整数と同じように消すことができます。

　例えば方程式が$2x=6$であれば、両辺を2で割りますよね。

　同じように、$ax=3ab$の場合は両辺をaで割れば良いのです。

両辺をaで割るということは、両辺に$\frac{1}{a}$をかければいいね

　$ax=3ab$

　$ax{\color{red}{×\frac{1}{a}}}=3ab{\color{red}{×\frac{1}{a}}}$

　$x=3b$

【例題で解説】文字について解く問題3パターンのやり方

　ここからは文字について解く問題を3パターン解説します。

　以上の例題を用いて解説します。

①$2x+y=5【y】$

　$2x+y=5$をyについて解く問題です。

　つまり、この方程式を$y=～$のように表せば良いのです。

　よって、答えは以下のようになります。

　$2x+y=5$

　$\color{red}{y=-2x+5}$

これで終わり？

　このパターンは移項するだけで終わるからラクですね！

②$S=\frac{1}{2}ah【h】$

　$S=\frac{1}{2}ah$をhについて解く問題です。

　つまり、この方程式を$h=～$のように表せば良いのです。

　①の問題と違うのは、方程式に分数が混ざっていることです。

　分数が混ざっているときは、先に分母を払ってしまいましょう。

　解答は以下です。

　$S=\frac{1}{2}ah$

　$S×2=\frac{1}{2}ah×2$

　$ah=2S$

　$\color{red}{h=\frac{2S}{a}}$

③$z=\frac{1}{3}y(2x+3)【x】$

　$z=\frac{1}{3}y(2x+3)$をxについて解く問題なので、$x=～$で表せば良いですね。

分数とか、かっことかがあってゴチャゴチャしてる

　式がごちゃごちゃしているときは、最初に分母を払いましょう。

　また、$x=～$で表すため、かっこの中からxを取り出さなければいけません。

　つまり、分配法則を行います。

　解答は以下の図で表しました。

まとめ

　長方形の折り返しの問題は、中学2年数学の図形では応用問題にあたります。

　それまでで習った知識を使いこなせずに、難しいと感じている人が多いのではないでしょうか。

　この記事では、長方形の折り返し『角度』を求める問いが苦手な人に向けて、ポイントを5つ紹介します。

　この5つのポイントを意識すれば『どこから手を付ければ良いかわからない！』という悩みを解決でき、長方形の折り返し『角度』を求められるようになりますよ。

長方形の折り返し『角度』を求めるポイント5選

　長方形の折り返し『角度』を求めるポイントは次の5つです。

• 重なる角の角度は等しい
• 長方形の四隅は90°
• 三角形の内角と外角の関係
• 平行線の錯角と同位角
• 対頂角

　以下で詳しく解説します。

①重なる角の角度は等しい

　長方形の折り返しの問題で一番重要なのは、元の長方形に戻したときに重なる角の角度は等しいことです。

　これを知らないと、自力で問題を解くのは難しくなります。

②長方形の四隅は90°

　角度を求める問題では、既にわかっている角度を手がかりにして問題を解きますよね。

　その手がかりの一つとして、長方形の四隅は90°であることを忘れてはいけません。

そんなの言われなくてもわかってるよ！

　長方形の四隅が90°だなんて当たり前だと思うかもしれませんが、いざ長方形の折り返しの問題を解いてみると、意外と忘れてしまうものですよ。

③三角形の内角と外角の関係

　図形の問題で忘れてはいけないのは、三角形の内角と外角の関係です。

④平行線の錯角

　長方形の特徴といえば、四隅が90°であること以外になにがあるでしょうか？

長方形の向かい合う辺は平行だね！

　平行な直線があるということは、錯角を使えます。

　長方形の折り返しの問題では、とくに錯角をよく使いますよ。

⑤対頂角と同位角

　平行線の錯角ときたら、対頂角と同位角も押さえましょう。

　図形の問題では錯角だけでなく対頂角と同位角も手がかりになることがあるので、長方形の折り返しの問題に限らず、これらは頭に入れておきましょうね。

【例題】長方形の折り返しの角度

　ここからは長方形の折り返しの角度を求める問いを行います。

例題

四角形ABCDは長方形である。

x,yの角度を求めなさい。

　まずはxの角度について。

　四角形ABCDは長方形、ということは辺ADと辺BCは平行なので平行線の錯角がつかえます。

　xの角と錯角の関係にあるのは40°の角です。

　よってx=40°

　次はyの角度について。

　折り返した部分を戻せば、∠C’FEと∠EFCが重なるので、∠C’FE＝∠EFC

　x=40°と分かっているので、

　∠C’FE=$(180-40)×\frac{1}{2}=70°$

　また、∠C’と∠D’は長方形の四隅の角なので90°

　四角形C’D’EFで見ると、四つの角のうちy以外はわかっています。

　つまりy=360-(90×2+70)=110°

まとめ

　長方形の折り返しで角度を求める問いでは、この記事で紹介したポイントを全て押さえていれば、模範解答の通りでなくても何かしらの方法で答えにたどりつけます。

　例えばこの記事で紹介した例題では、yの角度は錯角のみを用いて解くこともできます。

　辺ADと辺BCが平行なことに加え、辺D’Eと辺C’Fが平行であることを考えると、錯角のみで答えにたどり着けますよ。

　スマートな方法でなくても諦めなければ正解できるので、様々な問題を解いて成功体験を積んでくださいね。

　二等辺三角形の性質は小学校の頃にも習ったけれど、改めて聞かれると答えられない中学生がいることでしょう。

　また、二等辺三角形の角度を求める問題は、二等辺三角形の性質を理解し使いこなせないと難しく感じますよね。

　この記事では二等辺三角形の性質3つを解説したあと、二等辺三角形の角度を求める問題2パターンの解説をします。

　この記事を読めば二等辺三角形の基礎がわかります。

　また、受験によく出る『作図』を解くのに重要な二等辺三角形の性質についても詳しく解説します。

二等辺三角形の性質3つ

　まずは二等辺三角形の性質3つを解説します。

• 2辺の長さが等しい
• 底角の大きさが等しい
• 頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する

①2辺の長さが等しい

　まずは2辺の長さが等しいことを押さえましょう。

3辺が等しければ『正三角形』。

正三角形は、二等辺三角形の特別な形なのです！

②底角の大きさが等しい

　二等辺三角形の角度を求める問いでは、底角の大きさが等しいことを利用します。

　二等辺三角形の底角ではない角を『頂角』ということも押さえておきましょう。

【受験】③頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する

　一番忘れがちなのが『頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する』ことです。

　授業ではあまり使わない性質かもしれませんが、高校入試では作図の問題を解くため重要な基礎知識です。

　『頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する』するなら、逆に『垂直二等分線上の点を結べば、二等辺三角形が出来る』ことも、作図の問題を解くには重要です。

　中1で習った作図『垂直二等分線』を覚えていますか？

　高校入試の作図を解くために、垂直二等分線上の点を結べば二等辺三角形が出来る、つまり上の図で言うとAP=BPになるという性質を用いることがあります。

　この話がピンと来ない人は以下の記事も読んでみてください。

二等辺三角形の角を求める問題

　ここからは二等辺三角形の角を求める問題2パターンをやっていきましょう。

• 頂角が与えられる
• 底角の片方が与えられる

　以下、問題です。

①頂角が与えられる

例題①

xの角度を求めなさい。

角度が1個しかわからない！

　ここで用いる性質が『②底角の大きさが等しい』です。

　頂角が40°と与えられているので、まずは180-40＝140です。

　残りの140°とはつまり、2つの底角の合計ですね。

　底角の大きさは等しいので、xの角度を求めるには$140×\frac{1}{2}$をすれば良いのです。

②底角の片方が与えられる

例題②

xの角度を求めなさい。

角度が一個しか書いてないじゃないか！

　慌てないで、底角の大きさが等しいことを思い出しましょう。

　底角が50°とわかっているので、もう片方の底角も50°ですね。

まとめ

　二等辺三角形の単元では、証明問題のような難しい問題を扱います。

　しかしこの記事で扱った二等辺三角形の角度を求める問いは、解き方を覚えてしまえば簡単に攻略できます。

　テストで得点源にするために、問題演習を重ねて確実にマスターしましょう。

　二等辺三角形の証明をしなさいと言われて、どのように証明したらよいかわからない人がいるのではないでしょうか。

　三角形の合同証明のように合同条件を暗記させられるわけではないので、戸惑ってしまいますよね。

　この記事では、二等辺三角形であることを証明する方法の、よく出る2パターンを解説します。

　それぞれのパターンを用いた例題もあるので、二等辺三角形を証明する方法の基礎が身につきますよ。

二等辺三角形であることを証明するポイント2つ

　二等辺三角形であることを証明するためには、以下の根拠を示すパターンがあります。

　特に底角の大きさが等しいことを示すパターンが頻出です。

　この2つのポイント、見覚えがありますよね。

　そう、二等辺三角形の性質です。

　これらの性質をもつ三角形だから、この三角形は二等辺三角形である、と証明するわけです。

　二等辺三角形の性質を忘れてしまった人は、以下の記事を参考にしてください。

【例題】二等辺三角形であることを証明する問題2パターン

　ここからは二等辺三角形であることを証明する例題をやっていきましょう。

【頻出】①底角の大きさが等しい

　まずは頻出の、底角の大きさが等しいことを示すパターンをやっていきます。

例題①

△ABCは二等辺三角形である。

DB=ECのとき、△FBCが二等辺三角形であることを証明せよ。

　△FBCが二等辺三角形であることを言うため、底角の大きさが等しいことを示しましょう。

　△FBCの底角は∠FBCと∠FCBですね。

　さて、△FBCの底角と共通の角をもつ三角形があります。

∠FBCは△EBCが、

∠FCBは△DBCがもっているね

　そこで、△EBCと△DBCの合同を証明しましょう。

　合同な図形の対応する角は等しいので∠EBC＝∠DCB、つまり△FBCの底角が等しいので△FBCは二等辺三角形であると言えます。

解答

△DBCと△ECBにおいて

仮定よりDB＝EC…①

BCは共通…②

また、△ABCは二等辺三角形なので、∠DBC＝∠ECB…③

①②③より、2組みの辺とその間の角がそれぞれ等しいので△DBC≡△ECBである。

合同な三角形の対応する角は等しいので、∠FBC＝∠FCB

よって△FBCの底角が等しいので、△FBCは二等辺三角形である。

②2辺の長さが等しい

　次は2辺の長さが等しいことを示すパターンです。

例題②

四角形ABCDは長方形である。また、点MはADの中点である。

このとき、△MBCが二等辺三角形であることを証明せよ。

　三角形の合同を証明する方法で、MB＝MCを示しましょう。

　MB＝MCを言うために、それらの辺を含む三角形である△AMBと△DMCの合同を証明すればよさそうですよね。

解答

△AMBと△DMCにおいて

点Mは辺ADの中点なので、AM = DM…①

四角形ABCDは長方形なのでAB = DC…②

さらに∠MAB＝∠MDC＝90°…③

①②③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AMB≡△DMC

合同な三角形の対応する辺は等しいので、MB=MC

よって△MBCの2辺が等しいので、△MBCは二等辺三角形である。

まとめ

　二等辺三角形を証明する問題を難しそうに感じてしまうかもしれません。

　しかし三角形の合同証明の方法がわかり、また二等辺三角形の性質を知っていれば難しいことはないのです。

　三角形の合同証明や二等辺三角形の性質を忘れてしまった人はそこから復習しましょう。

　星形の内角の和は180°だと習っても、なぜそうなるのかわからず困っている人は多いことでしょう。

　この記事では、平行線と角の応用『星形』の内角の和が、なぜ180°になるのかを解説します。

　決して難しくはありません。なぜなら、星形の前に習った『ブーメラン』の性質を覚えていればすぐに理解できるからです。

　『ブーメラン』の性質を忘れてしまった人のために、ブーメランの性質の説明もしているので、安心して読んでくださいね。

平行線と角『星形』

　『星形』の内角の和が180°になる理由を解説する前に、以下の前提知識を確認しましょう。

• 『星形』の内角の和は180°であることを視覚的に確認
• 『ブーメラン』の性質

　前提知識は大丈夫！　という人は『星形の内角の和が180°になる理由』だけを読んでください。

『星形』の内角の和は180°

　上の図のように、星形の尖った部分の角度を全て足したら180°になります。

星形を理解するには『ブーメラン』の性質が重要

　星形の内角の和が180°になる理由を理解するには、星形の前に習った『ブーメラン』の性質を覚えている必要があります。

　上の図のように、ブーメランの内角の和はへこみの部分の角度と等しくなります。

　ブーメランについて忘れてしまった！　という人は以下の記事も読んでみてください。

『星形』の内角の和が180°になる理由～ブーメランがわかれば楽勝

　ここからは『星形』の内角の和が180°になる理由を解説します。

　ポイントは以下の2つです。

　まずは星形を、ブーメランと三角形に分けましょう。

　ブーメランの方を見てみましょう。

　ブーメランの内角の和は、へこみの部分の角度と等しくなるのでしたね。

　さらに対頂角なので、へこみの部分∠BFC=∠DFEです。

　次に△DEFを見てみましょう。

　△DEFにおいて∠DFE=∠A+∠B+∠Cです。

　△DEFの内角には、∠DEFに加えて∠Dと∠Eがあります。

　つまり△DEFの内角は、∠A+∠B+∠C+∠D+∠Eでできているのです。

　三角形の内角の和は180°でしたね。

　よって、∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°というわけです。

まとめ

　平行線と角の応用『星形』は、ブーメラン形の性質や三角形の内角の和といった既習の内容を用いれば理解できましたね。

　星形だけでなく、応用問題を難しそうだと敬遠せずに基礎知識を駆使して新しい内容を理解していきましょう。

　平行線と角の問題で、いきなりブーメランのような変な形が出てくると混乱してしまいますよね。

　この記事では、平行線と角の応用『ブーメラン』性質と、その性質を持つ理由を解説します。

　この記事を読めば『ブーメラン』の問題を解けるようになるだけでなく、性質をもつ理由を理解できるので解き方を忘れにくくなります！

平行線と角『ブーメラン』の解き方

　まずは平行線と角『ブーメラン』の性質と、なぜその性質をもつのかを解説します。

『ブーメラン』の性質

　上の図のように、3つの角度を全て足した数が、へこみの部分の角度になります。

【図解】『ブーメラン』の性質が成り立つ理由

　ここからは、なぜ『ブーメラン』では3つの角度を全て足した数が、へこみの部分の角度になるのかを確認します。

Information

【前提知識】三角形の内角と外角の関係

三角形の外角＝隣合わない2つの内角の合計

 　まずはブーメランの図形に、以下のように補助線を引きましょう。

　補助線を引くと、上と下に三角形ができますね。

　それぞれの三角形について内角と外角の関係より、ブーメランのへこみの部分の角度を表せます。

　△ABEと△ACD

　それが上の図のように表せて、∠x = ∠A+ ∠B + ∠Cとなるのです。

【問題】平行線と角『ブーメラン』

　ここからはブーメランの問題を解いてみましょう。

問題

次の図の、xの角度を求めなさい。

　まずは①について。

　ブーメランのへこみの部分の角度、つまりxの角度を求めるには、ブーメランの3つの角度を全て足せばよいのでした。

　よってxの角度は

　50+35+27=112°

　②について。

　ブーメランの3つの角の合計がへこみの部分の角度なので、それを利用して方程式を作りましょう。

　107=55+30+x　より

　x=22°

まとめ

　平行線と角の応用『ブーメラン』は、三角形の内角と外角がわかっていれば簡単に理解できますね。

　しかし、なぜ3つの角度を全て足した数がへこみの部分の角度になるのかを理解していないと、解き方を忘れがちになるのでしっかり復習してくださいね。

　ブーメランがわかったあなたなら、平行線と角の応用『星形』もすぐに理解できますよ！

　もう少し、勉強していきませんか？

　証明というだけで嫌になってしまうそこのあなた！

　合同ならともかく平行四辺形であること、しかも中点連結定理を用いるとなるとどうやって証明すればよいか想像もできない人が多いことでしょう。

　しかし、中点連結定理を用いて平行四辺形であることを証明する方法は、わかってしまえばとても簡単ですよ。

　この記事では平行四辺形であることを中点連結定理を用いて証明する方法を2パターン解説します。

　やりやすい方を選んで練習して、テストで解答できますよ！

　また、中点連結定理ってなんだっけ？　そもそも平行四辺形の条件ってなに？　というあなたのために、それらも解説しているので安心して読んでくださいね。

【前提】中点連結定理と平行四辺形の条件を覚えていますか？

　中点連結定理を用いて平行四辺形を証明する問題を行う前に、前提知識の確認しましょう。

　①中点連結定理

　②平行四辺形の定義・定理

　以上2つを確認します。

中点連結定理とは

　まずは大前提、中点連結定理とは何かを確認しましょう。

中点連結定理

点Bと点Cがそれぞれ辺ADと辺AEの中点ならば、

BC//DE

$\color{red}{BC=\frac{1}{2}DE}$

　中点連結定理を忘れちゃった、またはもっと詳しく知りたい！という人は以下の記事を読んでくださいね。

平行四辺形の条件

　2年生の時に習った平行四辺形の条件を覚えていますか？

　中点連結定理を用いて平行四辺形を証明する方法は2パターンあります。

　一つは『①2組の対辺がそれぞれ平行』であることを用いて、もう一つは『②1組の対辺が平行で長さが等しい』ことを用いて平行四辺形を証明します。

他の条件についても覚えておいてね！

【例題】中点連結定理で平行四辺形を証明する方法2パターン

　ここからは中点連結定理で平行四辺形を証明する方法を、2パターン解説します。

　以下の例題を用いて、解き方の解説を行います。

例題

　四角形ABCDにおいて、点E、点F、点G、点Hがそれぞれ辺AB、辺BF、辺CD、辺ADの中点であるとき、四角形EFGHが平行四辺形であることを証明しなさい。

①2組の対辺がそれぞれ平行

　まずは『①2組の対辺がそれぞれ平行』であることを示す方法を解説します。

　まず、図にはたくさんの中点があるので、中点連結定理を使えないかな？　と考えましょう。

でも、三角形がないと中点連結定理が使えないよ？

　そこで、BDに補助線を引いてみましょう。

　すると、△ABDと△CBDが出現します！

　まずは△ABDについて見ていきましょう。

　点Eが辺AB、点Hが辺ADの中点なので、△ABDについて中点連結定理を適用できます。

　よって、EH//BDです。

　次に△CBDについて見て見ると、点Fが辺BC、点Gが辺CDの中点なので、△CBDでも中点連結定理を適用できます。

　よって、FG//BD

　以上よりEH//BDかつFG//BDなので、EH//FGとなります。

　さらに、ACに補助線を引きます。

　すると△ABCと△ADCが出現しますね。

　同じように△ABCと△ADCについて中点連結定理を適用すると、

　△ABCよりEF//AC

　また△ADCよりHG//AC

　以上よりEF//ACかつHG//ACなので、EF//HGとなります。

　EH//FGかつEF//HGより、2組の対辺がそれぞれ平行なので、四角形EFGHは平行四辺形であるといえます。

　以下、解答をまとめます。

②1組の対辺が平行で長さが等しい

　中点連結定理を用いて平行四辺形を証明する方法はもう一つあります。

　ここからは『②1組の対辺が平行で長さが等しい』ことを用いて証明していきます。

　改めて問題を出しておきますね。

例題

　四角形ABCDにおいて、点E、点F、点G、点Hがそれぞれ辺AB、辺BF、辺CD、辺ADの中点であるとき、四角形EFGHが平行四辺形であることを証明しなさい。

　BDに補助線を引き、△ABDと△CBDを作ります。

　そのあとで中点連結定理を用いて、EH//FGを示すところまでは『①2組の対辺がそれぞれ平行』の方法と同じです。

　ここからが『②1組の対辺が平行で長さが等しい』ことを示す方法です。

　EH//FGを示したあとで、EF=FGを示します。

　△ABDにおいて中点連結定理を適用すると、$EH=\frac{1}{2}BD$

　また△CBDにおいて中点連結定理を適用すると、$FG=\frac{1}{2}BD$

　つまりEH=FGですね。

　よってEH//FGかつEH=FGより1組の対辺が平行で長さが等しいので、四角形EFGHは平行四辺形であるといえます。

　以下で解答をまとめます。

まとめ

　この記事ではまず中点連結定理と平行四辺形の条件を確認しました。

　そのあとで、中点連結定理を用いて平行四辺形を証明する方法として『①2組の対辺がそれぞれ平行』と『②1組の対辺が平行で長さが等しい』を示す解き方を解説しました。

　中点連結定理を用いた証明なので、難しそうに感じていた人がいるかもしれません。

　しかし、補助線を引くことさえ覚えてしまえばあとは簡単でしたよね。

　とはいえ復習しないと忘れてしまうので、自力で解けるように問題演習を忘れずに行ってくださいね。

　図形の証明が得意！　という高校受験生はそういないでしょう。

　合同条件や相似条件を覚えても、なかなか実践で得点できない人が多いのではないでしょうか。

　その原因の一つに、合同条件や相似条件を『あと一つ見つけられない』ことがあります。

　等しい辺や角をいくつか見つけられても、合同条件や相似条件に合わず証明ができなかったという経験がありませんか？

　この記事では合同条件や相似条件をあと一つ見つけられない理由とその対策を解説します。

　その後で、合同条件や相似条件をあと一つ見つけられるようになる問題を行っていきます。

図形の証明問題ができない理由とその対策

　図形の証明問題がどうしても解けない原因の一つに、合同条件や相似条件を『あと一つ見つけられない』ことがあります。

　なぜ条件をあと一つ見つけられないのか？

　どうしたら条件を見つけられるようになるのか？

　まずはこの2つを解説します。

合同条件や相似条件を『あと一つ見つけられない』から証明ができない

　図形の証明問題がどうしても解けない原因の一つに、合同条件や相似条件を『あと一つ見つけられない』ことがあります。

　問題を解いているとき、一度はこう思ったことがあるでしょう。

条件に合わない……

　ここの直線の長さが同じ。

　あそこの角度が同じ。

　いろいろと合同条件や相似条件になりそうな要素は見つかるけれど、例えば『三組の辺がそれぞれ等しい』とか『二組の辺とその間の角がそれぞれ等しい』とかいう合同条件や相似条件に当てはまらない。

　そんなことがあるはずです。

図形の証明問題の条件『あと一つ』を見つけられない理由

　図形の証明問題の条件『あと一つ』を見つけられない理由は、あと一つの条件はパッと見ではわからないからです。

　他の条件がすぐ見つかるのは、『AB=CDである』とか『∠ABC＝∠DEFである』などどあらかじめ問題文中に書いてあるから。

　また、錯角や平行四辺形の対辺・対角など、パッと見でわかりやすいからです。

　しかしあと一つの条件は、錯角や同位角、平行四辺形や二等辺三角形などの性質を駆使して、自分で見つけないといけないことが多いのです。

　例として以下の問題を見ていきましょう。

　この問題を見て、問題文よりBF=DG、平行線の錯角より∠EBF＝∠HDGであることはパッとわかるでしょう。

　でも、パッとわかる条件だけでは合同を証明できませんよね。

　実はこの問題、錯角と対頂角を駆使してあるもう一つの角が等しいことを言わなければならないのです。

　そこが難しいために、証明が解けないということになるのです。

『あと一つ』の条件を見つけられるようになるには？

　パッと見ただけでわからない条件を見つけるのは、なかなか骨が折れます。

　そこで、あと一つ、どこが等しいと言えれば証明できるかな？　と逆算して考えるのです。

　では、上の合同証明の問題は、あと一つどこの辺や角が等しければ合同条件がそろうと思いますか？

DG＝BFなら、2組の辺とその間の角が等しくなるね

∠DHG＝∠BEFなら、1組の辺とその両端の角が等しいと言える！

　このように、どこの辺や角が等しければ合同条件・相似条件がそろうかを考えます。

　その後で、その辺や角が等しくなる理由を探すのです。

　なんの当てもなく等しい辺や角を探そうとするよりは遥かにラクですよ。

図形の証明問題の条件『あと一つ』を見つけられるようになる問題

　ここまでで、図形の証明ができない原因の一つに、あと一つの合同条件または相似条件を見つけられないことをあげました。

　あと一つの条件を探すためには、どこの辺や角が等しければ良いかを考えてから、辺や角が等しい理由を考えましょうとお話しました。

　ここからは、あと一つ何が等しければ合同または相似であると言えるかを考える問題を行いましょう。

　この問題を行うことで、

三角形の合同編

問題

次の2つの三角形は、あと一つ何が等しいといえれば合同であるといえるか答えなさい。

また、その時の合同条件も答えなさい。

　①について。

　角度が2つわかっているので、あとはAB＝DEが言えれば、『一組の辺とその両端の角が等しい』と言えます。

　②について。

　2組の辺が等しいとわかっているので、∠B＝∠Dと言えれば『二組の辺とその間の角が等しい』と言えます。

　また、AC＝DFが言えれば『三組の辺がそれぞれ等しい』と言えますね。

相似編

問題

次の2つの三角形は、あと一つ何が等しいといえれば相似であるといえるか答えなさい。

また、その時の相似条件も答えなさい。

　①について。

　角度が1つわかっているので、あとは∠B＝∠Eまたは∠C＝∠Fがいえれば、『2組の角が等しい』といえます。

　②について。

　角度が1つと、辺が1組わかっています。

　辺の比はAC：DF＝12：15＝4：5ですね。

　つまり、BC：EF＝4：5であるとわかれば『2組の辺の比とその間の角』が等しいと言えます。

まとめ

　多くの高校受験生は、証明問題を苦手としています。

　だからこそ、あなただけはぜひ証明問題を解けるようにしてほしいのです。

　ライバルに差を付けて、志望校合格を目指しましょう！

　連立方程式の計算練習をしていると、比例式を含む連立方程式に出会うことがありますよね。

　見た目は連立方程式そのものですが、比例式があるときはどうすればいいんだろう？　と困惑してしまったことでしょう。

　そんなあなたのために、この記事では比例式を含む連立方程式の解き方を解説します。

　その後で問題演習も行い、比例式を含む連立方程式をマスターしましょう！

　比例式を含む連立方程式解き方の解説では、前提知識である比例式の解き方から解説するので、解き方が全くわからない！という人も安心して読んでくださいね。

　そもそも連立方程式の解き方がわからない！という人は先に以下の記事を読んでくださいね。

【解き方を一言で】比例式を二元一次方程式にする

　比例式を含む連立方程式は、こんな式ですよね。

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x:y=3:1 \\
3x-y=5
\end{array}
\right.
\]

連立方程式なのに比例の式がある！

どうやって解けばいいんだろう？

　比例式を含む連立方程式で解き方を迷ってしまうあなたでも、これなら解けますよね？

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=3y \\
3x-y=5
\end{array}
\right.
\]

これは普通の連立方程式だから余裕！

　比例式を含む連立方程式は、まず普通の連立方程式にすることがポイントです！

　そのためにまず、比例式を解いて二元一次方程式に変形します。

比例式を含む連立方程式の解き方

　比例式を含む連立方程式はまず、比例式を解いて普通の連立方程式に変形するとお話しました。

　ここからは具体的に、比例式を含む連立方程式の解き方を解説します。

【前提知識】比例式の解き方を覚えていますか？

　比例式を含む連立方程式を解くためには、比例式の解き方をマスターしていないといけません。

比例式ってどうやって解くんだっけ？

　比例式の解き方を忘れてしまった人は、基本的な比例式の解き方を確認しましょう。

　比例式の解き方で覚えてほしいのは、外×外、内×内です！

　この操作をしたら、比例式がただの方程式になるのです。

　x:3=9:25の外×外、内×内をすると以下のようになります。

　x:3=9:25

　25x=27

　$x=\frac{25}{27}$

比例式を外×外、内×内で解いたら一次方程式になったね！

比例式を二元一次方程式にする方法

　これまでで比例式の解き方を解説してきました。

　ここからは比例式を含む連立方程式を解くために、比例式を二元一次方程式にする方法を解説します。

　①について。

　文字が2つあっても基本は変わりません。

外×外、内×内をすればいいんだね

　$x:3=y:1$

　$\color{red}{x=3y}$

え！　これで終わり？

　これ以上計算できないから終わりです！

　②について。

　比例式なので、やっぱり外×外、内×内をします。

かっこがついてる時はどうすればいいの？

　かっこがついているときは、かっこごと外×外、内×内をするのです

　$\color{red}{(x+1)}:2=\color{red}{(y-3)}:1$

　$\color{red}{(x+1)}×1=\color{red}{(y-3)}×2$

　このように、かっこごとかけ算をします。

　以下、続きです。

　$\color{red}{(x+1)}×1=\color{red}{(y-3)}×2$

　$x+1=2y-6$

　ここで$x+1=2y-6$は二通りに変形できます。

　$\color{red}{x=2y-7}$　または　$\color{red}{x-2y=-7}$　です。

$x=2y-7$なら連立方程式を代入法で、

$x-2y=-7$なら加減法で解けるね！

【例題】比例式を含む連立方程式の解き方を解説

　ここまでで習った解き方を使って、比例式を含む連立方程式の問題をやってみましょう。

　①について。

　比例式『x:y=3:1』が含まれているので、これを二元一次方程式に変形しましょう。

　$x:y=3:1$

　$x=3y$

　つまり問題①の連立方程式は

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x:y=3:1 \\
x+2y=10
\end{array}
\right.
\]

⇔

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=3y \\
x+2y=10
\end{array}
\right.
\]

　なのです。

あとは普通の連立方程式だね！

　x=3yをx+2y=10に代入して解けますね。

　答え　x=6,y=2

　②について。

　比例式『x:y=3:1』が含まれているので、これを二元一次方程式に変形しましょう。

　$(x+1:2=(y-3):1$

　$(x+1)}×1=(y-3)}×2$

　$(x+1)×1=(y-3)×2$

　$x+1=2y-6$

　$x=2y-7$

　今回は代入法ができる形に変形しています。

$x+1=2y-6$を

$x-2y=-7$に変形したら加減法で解けるね

　つまり問題②の連立方程式は

\[
\left\{
\begin{array}{l}
(x+1):2=(y-3):1 \\
2x+3y=14
\end{array}
\right.
\]

⇔

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=2y-7
2x+3y=14 \\
\end{array}
\right.
\]

と変形できます。

　比例式を二元一次方程式に変形したら、あとは普通の連立方程式を解くだけです。

　答え　x=1,y=4

まとめ

　普通の連立方程式が解けるなら、比例式を含む連立方程式だって簡単に解けます。

　ちょっとの工夫だけで解けるようになるので、比例式を含む連立方程式を見て『嫌だなー』と思っていたあなたもぜひマスターしてくださいね。

　一次関数の変化の割合を習ったあと、応用問題と称して『反比例の変化の割合』を問われることがあります。

反比例の変化の割合なんて習ってないよ？

　実は反比例の変化の割合を求めるには、一次関数の変化の割合の公式を用いればよいのです。

　しかし、一次関数のときにやったような、『y=2x+1だから変化の割合は2』という一発でわかる方法はありません。

　なぜなら、反比例の変化の割合は一次関数と違って一定ではないからです。

　この記事では反比例の変化の割合を求める方法を解説したあと、反比例の変化の割合が一定ではない理由を解説します。

反比例の変化の割合を求める方法

　反比例の変化の割合を求める方法は一次関数と同じです。

　まずは一次関数の変化の割合を求める公式を確認しましょう。

　その後で、例題を用いて反比例の変化の割合を求める方法を解説します。

変化の割合を求める公式は一次関数と同じ

　一次関数の変化の割合を求める公式は覚えていますか？

　反比例の変化の割合を求めるためにも、一次関数で習った変化の割合の公式が使えます。

　忘れてしまった人は、今から覚えましょう。

yの増加量？　xの増加量？

なんだっけ？

　変化の割合の公式がよくわからない人は、以下の記事を読んでくださいね。

【例題】反比例の変化の割合を求める方法

　反比例の変化の割合を求める問いをやってみましょう。

　一次関数のときに習った変化の割合の公式に当てはめて考えましょう。

　さて、変化の割合の公式を使うためには、xの増加量とyの増加量が必要です。

xの増加量は『xが1から7まで増加する』ことから求められるね

　yの増加量を求めるためには、x=1とx=7の時のyの値を知らないといけませんね。

　x=1のとき、$y=\frac{14}{x}$より

　$y=\frac{14}{1}=14$

また、x=7のとき、$y=\frac{14}{x}$より

　$y=\frac{14}{7}=2$

　よって$(変化の割合)=\frac{(yの増加量)}{(xの増加量)}$より、xが1から7まで増加するときの変化の割合は

　$\frac{(yの増加量)}{(xの増加量)}$

　$=\frac{2-14}{7-1}$

　$=\color{red}{-2}$

反比例の変化の割合は一定じゃない！その理由は？

　一次関数の変化の割合なら、例えば$y=3x-1$なら変化の割合は3と一発でわかりましたよね。

反比例の変化の割合は、一次関数みたいに一発ではわからないの？

　反比例の変化の割合は、残念ながら式を見ただけではわかりません。

　なぜなら反比例は、一次関数とは違って変化の割合が一定ではないからです。

　以下で詳しく解説します。

そもそも変化の割合とは何か？

　そもそも変化の割合とは何かを、今一度確認しましょう。

　つまり変化の割合の公式は、xが1増えるごとにyの値がどれだけ増えるのかを求めるためにあるのです。

だから

$(変化の割合)=\frac{(yの増加量)}{(xの増加量)}$で、

yの増加量をxの増加量で割るんだね。

　一次関数は変化の割合つまりxの増加量1あたりのyの増加量が一定で、それが$y=ax+b$のaにあたるのです。

　しかし反比例は、xの増加量1あたりのyの増加量が一定ではないのです。

　次の段落では、反比例の変化の割合と一次関数の変化の割合の違いを、図を用いて見比べていきます。

【図解】反比例の変化の割合を一次関数の変化の割合と比べてみよう

　前の段落で、変化の割合とはxの増加量1あたりのyの増加量であるとお話しましたね。

　この段落では一次関数の変化の割合は一定なのに対し、反比例の変化の割合は一定ではないことを、図で確認していきましょう。。

　まずは一次関数の変化の割合を見ていきましょう。

　一次関数の変化の割合を図で見てみると、階段のように一定ですよね。

　この一定になっている変化の割合が、一次関数の式$y=ax+b$のaにあたります。

　だから、一次関数の変化の割合は式を見ただけで一発でわかるんですね。

　対して、反比例の変化の割合はどうでしょう。

　一次関数の変化の割合は、図で表すと階段のように一定になりました。

　しかし反比例の変化の割合は、図で表すと幅が一定ではないですよね。

この図みたいな階段だったら転んじゃうね！

　このように反比例の変化の割合は一定ではない、つまりxの増加量をどこからどこまでとったかによりyの増加量が変わってしまいます。

　よって、反比例の変化の割合は、式を見ただけではわからないのです。

まとめ

　反比例の変化の割合を求める問いが出てきて、こんなの習ってない！と思った人がいるかもしれません。

　しかし変化の割合の意味がわかっていれば、特に習っていなくても反比例の変化の割合を求められるはずです。

　一次関数の変化の割合は求められても反比例の変化の割合が求められなかった人は、数学で出てくる用語の意味をしっかり理解するようにしてくださいね。