【全パターン共通】一次関数の式を求めるたった1つの考え方とその解き方を解説

　一次関数の式を求める問いには様々なパターンがあります。

　中学生のあなたは、どのパターンでどの解き方をすれば良いか迷ってしまうことでしょう。

　しかし、一次関数の式を求める問いには全パターンで共通するたった1つの考え方があります。

　この記事では、一次関数の式を求める問い全てに共通するたった1つの考え方を解説します。

　この記事を読めば、一次関数の式を求める問いの本質がわかり、どんなパターンが出題されても迷うことなく解答できるようになりますよ！

【全パターン共通】一次関数の式を求めるたった1つの考え方

　一次関数の式は$\color{red}{y=ax+b}$で表されますよね。

　つまり一次関数の式を求めるには、$\color{red}{y=ax+b}$のaとbを求めればよいのです。

　問題文中には様々な条件が示されます。

　その条件を駆使して、一次関数のaとbを求めれば問題が解けるのです。

　aとbを求めればいいんだ！　と考えれば、解き方を覚えなくてもなんとか解けるものですよ。

【4パターン】変化の割合/傾き/切片/平行な直線+座標を与えられたときの解き方

　まずは以下4パターンの解き方を解説します。

• 切片+座標
• 変化の割合+座標
• 傾き+座標
• ある一次関数と平行+座標

　これらは条件を読んだだけで一次関数$y=ax+b$のaまたはbが分かる問いです。

　aまたはbを$y=ax+b$に代入したあと、さらに座標をx,yに代入して一次方程式を解きます。

①切片+座標

　まずは切片と座標が示されているパターンです。

　まず切片が5と言われているので、$y=ax+b$の$b=5$であることがわかります。

　よって$y=ax+5$です。

　さらに座標(-1,2)を通ることから、$y=ax+5$にx=-1,y=2を代入すればaも求められます。

$y=ax+5$

$2=-a+5$

$a=3$

　よってa=3,b=5なので、答えは$y=3x+5$

②変化の割合+座標

　変化の割合とは$y=ax+b$のaのことなので、$y=ax+b$に$a=-2$を代入できます。

　また座標(10,-6)を通ることから、x=10,y=-6を代入できるので、bを一次方程式で求められます。

$y=-2x+b$

$-6=-2×10+b$

$b=14$

　よってa=-2,b=14なので、答えは$y=-2x+14$

③傾き+座標

　傾きが5ということは、$y=ax+b$に$a=5$を代入できます。

　また座標(3,8)を通ることから、x=3,y=8を代入できるので、bを一次方程式で求められます。

$y=5x+b$

$8=5×3+b$

$b=-7$

　よってa=5,b=-7なので、答えは$y=5x-7$

④平行な直線+座標

　直線$y=6x+5$に平行とはどういうことでしょうか。

　求める一次関数が直線y=6x+5と平行ということは、求める一次関数の傾きは直線y=6x+5と同じということです。

　つまり$a=6$として一次関数を求めます。

　あとは③傾き+座標の解き方と同じです。

　a=6,b=-1となり、答えは$y=6x-1$

【2パターン】座標2点を与えられたときの解き方

　次に座標を2点与えられた時の一次関数の式を求める問いについて、2パターン解説します。

• (k,l)と(m,n)が与えられる
• (k,l)と(m,0)が与えられる

　①は0を含まない座標、②は0を含む座標が与えられます。

　①と②は同じ解き方でも問題なく解けますが、②の$(m,0)$が切片であることを用いれば簡単に解けます。

①(k,l)と(m,n)が与えられる

　解き方は2つあります。

• 変化の割合を求めてから一次方程式を作る
• 連立方程式を作る

　まずは①変化の割合を求めてから一次方程式を作る方法を解説します。

　変化の割合とは、ある関数での、xの増加量1あたりのyの増加量のことでした。

　つまり、yの増加量をxの増加量で割ればよいのでしたね。

　座標Bから座標Aのxの増加量は3-(-1)=4

　またyの増加量は-4-12=-16

　よって変化の割合は$\color{red}{\frac{-16}{4}=-4}$

　つまりa=-4であることがわかりました。

　$y=ax+b$に$a=-4$を代入します。

　さらにA(3,-4)を通ることからx=3,y=-4を代入すればbも求められますね。

$y=-4x+b$

$-4=-4×3+b$

$b=8$

　よってa=-4,b=8となり、答えはy=-4x+8

　次に②連立方程式を作る方法を解説します。

　一次関数の式$y=ax+b$に座標を代入し、a,bを求めます。

　座標は2つあるので式は2通りでき、連立方程式を立てられるのです。

　A(3,-4)を通ることより、x=3,y=-4を$y=ax+b$に代入します。

　$-4=3a-b$…①

　また、B(-1,12)を通ることより、x=-1,y=12を$y=ax+b$に代入します。

　$12=-a+b$…②

　式①と②を連立することで、a,bを求めます。

\[
\left\{
\begin{array}{l}
-4=3a-b･･･① \\
12=-a+b･･･②
\end{array}
\right.
\]

　これを解くとa=-4,b=8となり、答えはy=-4x+8

どちらの方法で解いても当然答えは同じになるから、

好きな方で解こうね！

②(k,l)と(m,0)が与えられる

(k,l)と(m,n)が与えられる問題と何が違うの？

　一見すると2つの座標を与えられるタイプの問題です。

　しかし、座標Bについて何か気づきませんか？

　座標B(0,2)を通るということは、求める一次関数の切片が(0,2)ということ。

　つまりb=2です。

　この問いでは切片bが分かったので、あとは切片と座標が条件として示されているパターンと同じ解き方です。

　$y=ax+2$に座標A(5,37)を代入します。

　$37=a×5+2$

　 a=7

　よってa=7,b=2となり、答えはy=7x+2

まとめ

　一次関数の式の求め方についてまとめます。

　一次方程式の式を求める問題は様々なパターンがありますが、全て同じ考え方で解けます。

　あなたは各パターンの解き方をそれぞれ覚えるのではなく、解き方の本質『一次関数のa,bを求めることを考える』を理解しましたね。

　あなたはきっと、テストでも迷うことなく解答できるでしょう。