【数学ⅠA】集合で出てくる用語・記号と公式の意味をまとめてわかりやすく解説

　数学ⅠAの単元『集合』は、高校で初めて習う内容なので難しいですよね。

　集合を難しくしているのは、次々と出てくる新しい用語や記号。

　さらにド・モルガンの法則などの公式を駆使して解く問題もあるので、集合に苦手意識をもっても無理はありません。

　この記事では、最初に集合に出てくる用語・記号、公式を一覧でまとめています。

　そのあとで、集合に出てくる用語と公式について詳しく解説します。

　必要に応じて図も用意しているので、この記事を読めば集合の基礎知識が整理できます！

集合に出てくる用語・記号と公式の一覧

　集合について学習する上で、押さえておきたい用語と記号をまとめます。

　さらに以下の公式も覚えましょう。

　以下ではそれぞれの用語・記号と公式について、詳しく解説します。

　気になるところがあれば、リンクから飛んでくださいね。

集合に出てくる用語・記号の意味を解説

　ここからは集合に出てくる用語について、意味を解説します。

　さらに用語に対応する記号も紹介します。

①集合『$A=\{1,2,3\}$』『$A=\{x|1≦x≦3\}$』

　数学における集合とは、数や文字の集まりのことです。

　集合一つ一つには『A』や『B』などと名前が付けられます。

　例えば、集合Aについて1,2,3,4,5が含まれるとしたら、以下の2つの表し方をします。

　集合の表し方は、①のように書き並べる方法と、②のように範囲を表す方法があります。

$A={x|1≦x≦5}$ってどういう意味？

　まずは集合Aに含まれる数を、全て$x$とします。

　そのあとで$x$の範囲を$1≦x≦5$指定し、集合Aには1,2,3,4,5が含まれると言っているのです。

②要素『$1 \in A$,$1 \notin A$』

　集合を構成している一つ一つの数や文字を、要素と呼びます。

　例えば$A=\{1,2,3,4,5\}$の要素は、1と2と3と4と5です。

　要素であることを記号$1 \in A$で表し、要素でないことを$1 \notin A$で表します。

③集合の個数『$n(A)=3$』

　集合の要素の個数を表すには、$\color{red}{n(A)=○○}$と書きます。

　例えば$A=\{1,2,3,4,5,6\}$であれば、要素は6個なので$n(A)=6$と書きます。

④空集合『$\varnothing$』

　数学における集合には、要素が一つもない集合が存在します。

　要素が一つもない集合を空集合といい、記号$\varnothing$で表します。

　例えば集合Aが空集合のとき、$A={\varnothing}$と書きます。

⑤部分集合『$A \subset B$,$A \not \subset B$』

　ある集合の要素が別の集合の要素全てを含むとき、別の集合はある集合の部分集合であるといいます。

　以下の集合Aと集合Bを見てください。

　部分集合について理解を深めるため、以下の例題をやってみましょう。

集合Aの部分集合だから、Aの要素だけをもつ集合を書けばいいんだね

Aの部分集合は、{1}{2}{3}{4}

他には{1,2}{1,3}{1,4}とか……

　まずは解答をまとめます。

　部分集合には元の集合とまったく同じ要素を持つ集合と、空集合があります。

　例題でいう{1,2,3,4}のような、元の集合とまったく同じ要素を持つ集合を真部分集合と言います。

⑥共通部分『$A \cap B$』

　2つ以上の集合があるとき、共通の要素を共通部分といい、　記号$\cap$(キャップ)で表します。

　$A \cap B$の読み方は、『AキャップB』もしくは『AかつB』です。

　共通部分は、図でもイメージできるようにしましょう。

⑦和集合『$A \cup B$』

　2つ以上の集合があるとき、それらの要素を全て集めた集合を和集合と言います。

　和集合は記号$\cup$と表し、読み方は$A \cup Bであれば『AカップB』もしくは『AまたはB』です。

　ポイントは、共通部分は1回だけ書くことです。

　和集合は、図でもイメージできるようにしましょう。

⑧全体集合『$U$』

　全体集合とは、問題に出てくるすべての数や文字を集めた集合です。

全体集合の例

1年2組の男子を集合Aとすると、1年2組全員が全体集合$U$にあたる。

クラスに女子もいるとしたらAに入らないよね？

　集合の要素ではないものを集めた集合は補集合と言います。

　補集合については、このあとすぐに解説します。

⑨補集合『$\overline{ A }$』

　ある集合をAとしたとき、Aに属さない要素を集めた集合を補集合といいます。

補集合の例

全体集合$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

$A=\{1,3,5,7,9\}$のとき、補集合$\overline{ A }$は、

$\overline{ A }=\{2,4,6,8\}$

図で表すと以下のようになる。

集合に出てくる公式を解説

　ここからは集合に出てくる公式を解説します。

①ド・モルガンの法則

　ド・モルガンの法則は、以下の2種類があります。

　ド・モルガンの法則を使えば、$ \overline{ A } \cup \overline{ B }$と$ \overline{ A } \cap \overline{ B }$を簡単に求められるのです。

　ド・モルガンの法則より$\overline{ A\cap B } = \overline{ A } \cup \overline{ B }$です。

　よって$\overline{ A } \cup \overline{ B }$を求めたければ、$\overline{ A\cap B }$を求めればよいのです。

②和集合の個数

　和集合の個数を求めるには、以下の計算をします。

n(A)+n(B)じゃだめなの？

　単にAとBの要素の個数を足しただけだと、AかつBの要素を2回数えてしまいます。

　よって、AかつBの要素を1回分ひかなければならないのです。

イメージしずらいな……

　集合の個数ではイメージしづらい人は、要素を全て書き並べて考えてみましょう。

和集合の個数を求める例

$A=\{1,2,3,4,5\}$

$B=\{2,4,6,8,10\}$

$A \cup B$の要素を求めるには、$A \cap B$を1回分消さなくてはいけない。

下の画像より、$A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,8,10\}$

　以上のように、和集合を求めるためには単に集合の個数を足すだけでなく、共通部分を引かなければならないのです。

まとめ

　ここまで、集合に出てくる用語・記号、公式を解説しました。

　聞いたことのない用語や記号がでてきて、混乱してしまうのも無理はありません。

　この記事で習ったことを忘れないよう、学校の問題集などで集合の問題を解いて、知識を定着させましょう。