【連立方程式の利用】食塩水の問題を解くコツと典型問題の解き方を解説【苦手克服】

　連立方程式の利用というだけでなかなか手が出しづらいと考える人が多いかもしれません。

　特に食塩水の問題となると、見ただけでお手上げでしょう。

　しかし、連立方程式の利用『食塩水』でも、コツを意識して解けば簡単に解けるようになります。

　この記事では連立方程式の利用『食塩水』を解くコツと、典型問題の解説をします。

　この記事を読めば食塩水の問題を抵抗なく解けるようになりますよ！

【連立方程式の利用】食塩水の問題を解くコツ

　連立方程式の利用で難しいのは、自分で式を立てなければならないことですよね。

　式を立てるには以下のコツを意識しましょう。

　食塩水の問題であるという時点で、上に挙げた4つの要素のどれかに注目して式を立てると考えましょう。

　文章に出ている情報を元に、食塩水の量、食塩の量、水の量、濃度のうちどれが等しくなるかを考え、方程式を作るのです。

　特にx,yで置いたものを足し算しただけで式を1つ作れないか考えましょう。

　そうなると当然、質量パーセント濃度を求め方を覚えていないとできないわけです。

　そこから怪しい人は先に復習をしましょう。

連立方程式で解く食塩水の典型的な問題を解説

　ここからは例題を用いて、連立方程式で解く食塩水の典型的な問題を解説します。

• 食塩水の量を求める問い
• 濃度を求める問い

　以下で詳しく解説します。

①食塩水の量を求める問い

　まずは食塩水の量を求める問いを解説します。

　まずは問われていることを文字で置きましょう。

　5%の食塩水を$xg$、20%の食塩水を$yg$混ぜるとします。

　『5％の食塩水と20％の食塩水を混ぜて、10％の食塩水を600g作りたい』より、$\color{red}{x+y=600}$です。

xとyを足しただけで式ができたね！

　もう一つの式は、食塩水に含まれる塩の重さに注目して作りましょう。

　『5％の食塩水と20％の食塩水を混ぜて、10％の食塩水を600g作る』とき、『5％の食塩水に含まれる塩の量』と『20％の食塩水に含まれる塩の量』を足した量は、『10％の食塩水600g』と同じですよね。

　5%の食塩水xgに含まれる塩の量は$(x×\frac{5}{100})g$

　20%の食塩水ygに含まれる塩の量は$(y×\frac{20}{100})g$

　さらに10%の食塩水600gに含まれる塩の量は$(600×\frac{10}{100})g$

　以上より、方程式ができます。

　$\color{red}{x×\frac{5}{100}+y×\frac{20}{100}=600×\frac{10}{100}}$

　連立方程式を解きましょう、

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x+y=600 \\
x×\frac{5}{100}+y×\frac{20}{100}=600×\frac{10}{100}
\end{array}
\right.
\]

　これを解くと$x=400,y=200$

　よって答えは5%の食塩水を400g、20%の食塩水を200g混ぜればよい。

②濃度を求める問い

　次は濃度を求める問いを解説します。

　食塩水AとBの食塩の濃度を求められているので、食塩水Aを$x％$、食塩水Bを$y%$とします。

今度も$x+y$で式を作れるかな？

……あれ？　できない！

　残念ながら今回は$x+y$で式を作れません！

　この問いでは『食塩水Aを50g、食塩水Bを150g混ぜると12%の食塩水ができる』と『食塩水Aを100g、食塩水Bを200g混ぜると15%の食塩水ができる』ことから、食塩の量に注目して2つの方程式を作ります。

　まず『食塩水Aを50g、食塩水Bを150g混ぜると12%の食塩水ができる』ことから式を作ります。

　食塩水Aを$x％$、食塩水Bを$y%$としたので、50ｇの食塩水Aに含まれる塩の量は$50×\frac{x}{100}$。

　150ｇの食塩水Bに含まれる塩の量は$150×\frac{y}{100}$です。

　さらに12%の食塩水は、総量が$50+150=200g$なので、12%の食塩水に含まれる塩の量は$(50+150)×\frac{12}{100}$です。

　以上より、方程式ができます。

　$\color{red}{50×\frac{x}{100}+150×\frac{y}{100}=(50+150)×\frac{12}{100}}$

50ｇの食塩水Aに含まれる塩の量$50x$で、

150ｇの食塩水Bに含まれる塩の量は$150y$じゃないの？

　50gの食塩水Aに含まれる塩の量を求める時、例えば食塩水Aが20％だったらどうやって求めるでしょう。

　20％を$\color{red}{\frac{20}{100}=0.2}$のように、百分率から割合に変換して計算しますよね。

　今回は食塩水Aを$x％$、食塩水Bを$y%$としたので、百分率から割合に変換するためそれぞれ$\frac{x}{100}$、$\frac{y}{100}$としているのです。

　また、『食塩水Aを100g、食塩水Bを200g混ぜると15%の食塩水ができる』ことからもう1本式を立てます。

　さっきと同じように考えて式を作ると以下のようになります。

　$\color{red}{100×\frac{x}{100}+200×\frac{y}{100}=(100+150)×\frac{15}{100}}$

　連立方程式を解きましょう。

\[
\left\{
\begin{array}{l}
50×\frac{x}{100}+150×\frac{y}{100}=(50+150)×\frac{12}{100} \\
100×\frac{x}{100}+200×\frac{y}{100}=(100+150)×\frac{15}{100}
\end{array}
\right.
\]

　これを解くと$x=39,y=3$

　よって答えは食塩水Aは39％、食塩水Bは3％

まとめ

　連立方程式で解く食塩水の問題についてまとめます。

　食塩水の問題が苦手な人も、まずは典型問題をマスターして、解き方を頭に叩き込みましょう。

　典型問題ではなければ誰にとっても難しいです。そんなときでも問題を解けるか否かは、典型問題をしっかり理解しているかどうかにかかっているので、後回しにせず復習しておきましょう。