【x=±a】二次方程式の解に『プラスマイナス』がつく理由3選【もうつけ忘れない】

　二次方程式の計算では、解にプラスマイナスを付け忘れるミスが多発します。

　せっかく問題を解けたのに、ケアレスミスで失点してしまうのはもったいないですよね。

　では、なぜあなたはプラスマイナスを付け忘れるのか。

　それは、そもそもなぜ二次方程式の解にプラスマイナスがつくのかをわかっていないからです。

　この記事では、二次方程式の解にプラスマイナスがつく理由を3つ解説します。

　この記事を読めばプラスマイナスをつけなければならない理由をしっかり理解できるので、もう忘れようがなくなりますよ。

そもそも『x=±a』の意味をわかっていますか？

　$x^2=9$の解は、$x=±3$ですよね。

　では、$x=±3$とはどういう意味か。

　$x=±3$とは$x=3,-3$を略して書いたものです。

　つまり$x=±3$とは『解は3と-3の2つがある』という意味です。

二次方程式『$x^2=a$』の解に『プラスマイナス』がつく理由3選

　二次方程式の解に『プラスマイナス』がつく理由3つは以下です。

• そもそも二次方程式には解が2つある
• 平方根はプラスとマイナスの両方ある
• $x^2-a=0$にして因数分解すると$(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})=0$になる

　一つずつ詳しく解説します。

①そもそも二次方程式には解が2つある

　そもそも二次方程式には解が2つあります。

　一次方程式は解が1つでしたよね。二次方程式は2つ、三次方程式は3つなのです。

　となると、二次方程式の解が正の数の1つだけだとおかしいことになります。

　$x^2=4$

　$x=2$←×

　うっかりプラスマイナスを付け忘れたとしても、解が一つしかないことをおかしいと思えれば、プラスマイナスを忘れたことに気づきミスを回避できるでしょう。

　±2と書くことで、『2と-2』の2つを表します。

二次方程式なのに解が1つしかないこともあるよ

　二次方程式で解が1つしかないとき、その解を重解といいます。

　例えば以下のような二次方程式は重解になりますね。

　$(x-1)^2=0$

　$x=1$

　$(x-1)^2$が0になる$x$の数は1しかありません。よって二次方程式でありながら、見かけ上では解は1つしかないことになります。

　しかし、$(x-1)^2=0$を$(x-1)(x-1)=0$と見ると、$x=1,1$となり、解は1が2つあると考えられます。

　よって、$x^2=4$は$x=2$のように本当の意味で解が1つになることはありません。

②平方根はプラスとマイナスの両方ある

　$x^2=4$から$x$の値を求めるということは、4の2乗される前の数を求めるということです。

　2乗される前の数、つまり平方根には正の数と負の数の2つがあったはずです。

　では、4の平方根は何ですか？

4の平方根は『2』

ちがうよ！

平方根は正の数と負の数の2つあるから、

4の平方根は『2と-2』！

　$2^2=4$だけでなく、$(-2)^2=4$でもあることをお忘れなく！

　よって、$x^2=4$の解は$x=±2$になります。

③$x^2-a=0$にして因数分解すると$(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})=0$になる

　因数分解で二次方程式を解くとき、$(x+2)(x-2)=0$となる問いで解を1つしか書かないということはあまりないでしょう。

　では、$x^2=5$も因数分解で解いてみましょう。

　まずは右辺を移項します。

　$x^2=5$

　$x^2-5=0$

　ここから、$x^2-a^2=(x+a)(x-a)$のように因数分解しましょう。

5はどうすればいいの？

　因数分解するとき、$a^2$にあたる数の2乗される前の数である$a$を、$(x+a)(x-a)$のように書きますよね。

　では、5の、2乗される前の数は何か。

ルートを用いて、$\sqrt{5}$と$-\sqrt{5}$だね！

　つまり次のように因数分解できます。

　$x^2=5$

　$x^2-5=0$

　$(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})=0$

　$x=±\sqrt{5}$

　このように因数分解してみると簡単に、±が必要なことがわかりますよね。

まとめ

　二次方程式の解に『プラスマイナス』がつく理由についてまとめます。

　どうしてもプラスマイナスを付け忘れてしまう！　という人でも、なぜプラスマイナスが必要なのかを理解すれば今後は忘れにくくなるでしょう。

　ケアレスミスをなくして、テストで1点でも多く取りましょうね！