【数学Ⅰ】絶対値を外す公式が成り立つ理由を図解【|x|=a,|x|>a,|x|<a】

　高校生で習う数学Ⅰでは、絶対値を外す問題がたくさん出てきますよね。

　その中でも複雑なのが、絶対値を外す公式です。

　|x|=a⇒x=±aに始まり、

　|x|>a⇒x<-a,a<xに、|x|<a⇒-a<x<aになる公式は、丸暗記しようとしてもすぐに忘れてしまいますよね。

　実はこの公式は、『|x|=a』『|x|>a』『|x|<a』が何を意味しているのかを押さえれば簡単に理解できます。

　この記事では『|x|=a』『|x|>a』『|x|<a』が何を意味しているのかを理解するため、まずは絶対値とは何かを解説します。

　その後で、絶対値を外す公式(|x|=a,|x|>a,|x|<a)が成り立つ理由を、図を用いて解説します。

【前提知識】絶対値とは0からの距離のこと

　絶対値とは何か、あなたは説明できますか？

　絶対値とは何かを説明できないと、絶対値を外す公式は理解できません！

　まずは絶対値を正しく理解しましょう。

　絶対値は0からの距離です。

　例えば-3の絶対値、つまり-3の0からの距離は『3』ですよね。

　絶対値を考えるときは、以下の図をイメージしましょう、

【図解】絶対値を外す公式が成り立つ理由

　これまでで、絶対値とは0からの距離のことであると確認しました。

　ここからは絶対値を外す公式(|x|=a,|x|>a,|x|<a)がなぜ成り立つのかを解説します。

　この公式は、aにあたる数が正の定数のときのみ使えます。

　例えばaにあたる数が3xなどの変数のときは、この公式は使えないので注意です！

①|x|=a『xの0からの距離はaである』

　絶対値とは0からの距離のことでしたね。

　つまり|x|=aが意味するのは、xの0からの距離はaであるということです。

　0からの距離がaである数は、aと-aが該当しますよね。

　以上より、|x|=a⇒x=±aの公式が成り立ちます。

②|x|>a『xの0からの距離がaよりも遠い』

　|x|>aが意味するのは、xの0からの距離がaよりも遠いということです。

　xの0からの距離がaよりも遠い範囲は、以下の図で表せます。

　以上より、|x|>a⇒x<-a,a<xの公式が成り立ちます。

③|x|<a『xの0からの距離がaよりも近い』

　|x|<aが意味するのは、xの0からの距離がaよりも近いということです。

　xの0からの距離がaよりも近い範囲は、以下の図で表せます。

　以上より、|x|<a⇒-a<x<aの公式が成り立ちます。

まとめ

　絶対値を外す公式は、テスト前に丸暗記したとしても受験前には忘れてしまいます。

　しかしこの記事を読んで公式の成り立つ理由を理解したあなたなら、受験前になっても覚えていることでしょう。

　とはいえ定期的な復習は必要なので、テストが終わっても復習を怠らないようにしましょう。