【中3数学】多項式の文章題「図形への利用」は簡単！解き方を3ステップで解説

　公立中学の3年生にとって、数学で初めにぶつかる壁といえば「多項式の文章題」ですよね。

　展開・因数分解の計算自体は楽勝でも、その後の文章題で躓いてしまうことでしょう。特に図形の問題は、文章と図形が一緒にかいてあるだけで嫌になってしまいますよね。

　しかし多項式の文章題はたったの3ステップ『①聞かれていることは何かを確認する』『②聞かれていることに答えるのに必要な式を立てる』『③式の計算をする』で解くことができます。

　文章題を前に途方に暮れてしまう人でも、この記事を読めば多項式の文章題を解く3ステップが分かり、問題を解けるようになりますよ！

多項式の文章題『図形への利用』の解き方3ステップ

　多項式の文章題『図形への利用』の解き方3ステップは以下です。

• 聞かれていることは何かを確認する
• 聞かれていることに答えるための式を作る
• 式の計算をする

　次の例題を用いながら解説します。

例題

縦$7cm$、横$8cm$の厚紙の四方から、一辺$xcm$の正方形を切り取った。

このとき、この厚紙を用いてできる直方体の容積を求めよ。

ステップ1：聞かれていることは何かを確認する

　文章題を解く上で大切なのは、何を聞かれているのかを把握することです。

　この例題の場合、聞かれているのは『直方体の容積』です。

ステップ2：聞かれていることに答えるための式を作る

　ステップ2では聞かれていることに答えるための式を作ります。

　ステップ1で、この例題では直方体の容積を聞かれているとわかりました。

　では、直方体の容積を求めるためには、どんな式を作ればいいでしょうか？

直方体の容積の公式は、

底面積×高さ

だね。

　容積を求めるためには、底面積と高さが何かを考える必要があります。

　聞かれていることに答えるために必要な式を立てるためには、問題文の状況を読み取ります。

　この問題の場合、状況とは『縦$7cm$、横$8cm$の厚紙の四方から、一辺$xcm$の正方形を切り取った』です。

　この状況を読み取り、直方体の容積を求める式に必要な『底面積』と『高さ』を文字で表します。

　実際に問題を解くときは、縦や横、高さを書き込みながら考えるとミスが減ります。

ステップ3：式の計算をする

　式を作ったら、あとは計算をするだけです。

　多項式の文章題では展開をすることがあるので、展開の方法を忘れてしまった人は復習しましょう。

　直方体の容積は、

$(7-2x)×(8-2x)×ｘ$

$＝x(56-14x-16x+4x^2)$

$=4x^3-30x^2+56x$

　よって直方体の容積は$4x^3-30x^2+56x({cm}^3)$

【問題演習】多項式の文章題「図形への利用」を解いてみよう

　上に書いてある『多項式の文章題の解き方3ステップ』に則り、問題を解いてみましょう。

問題

周の長さが$6π(ｍ)$の池の周りに、道幅$a(m)$の道路がある。

このとき、道路の面積を求めよ。

　まずはステップ1『聞かれていることを確認』しましょう。

聞かれているのは『道路の面積』だね

　次にステップ2『聞かれていることに答えるための式』を作ります。

　上の例題のように、公式ひとつでは道路の面積を求められませんよね。

道路の外側の線を円とみて、そこから池の面積を引けば良いんじゃないかな？

　上の図のように『$(道幅+池の面積)-(池の面積)$』をすれば、道路の面積を求められます。

　まずは(道幅+池の面積)を文字で表してみましょう。

(道幅+池の面積)は道幅の外側の線を円とみれば求められるね。

この円の半径は、(道幅+池の半径)だ。

道幅の長さは$a(ｍ)$だ。

あれ？　池の半径がわからないぞ？

　では、池の半径を求めてみましょう。

　この問題の状況を見ると、『周の長さが$6π(ｍ)$の池の周りに、道幅$a(m)$の道路がある。』と書いてあります。

　池の半径を求めるのに使うのは、池の周の長さです。

周の長さの公式は『$2πr$』だね。

$π$は円周率で$r$が半径だ！

　つまり、池の周の長さ$2πr=6π$なので、方程式を解けば半径rが出ます。

$2πr=6π$より、

$r=3(ｍ)$だ！

　こうして、池の半径が$3ｍ$だとわかりました。

　つまり道幅の外側の線を円と見るとその半径は、(道幅+池の半径)なので$a+3(m)$です。

　また、池の面積は、池の半径が$3ｍ$なので、$(道幅+池の面積)-(池の面積)$の式は以下のようになります。

　最後に、ステップ3『式の計算』をしましょう。

　以下で解答をまとめます。

解答

池の周の長さは$6π(m)$なので、$2πr=6π$より、$r=3$

よって池の半径は$3ｍ$

道幅の面積は$(道幅+池の面積)-(池の面積)$で求められるので、式は以下のようになる。

$π(a+3)^2-3^2π$

$＝π(a^2+6a+9)-9π$
$=πa^2+6πa$

$=πa(a+6)$

よって、道路の面積は$πa(a+6)ｍ^2$

まとめ～問題文を正しく読めれば簡単！

　多項式の文章題『図形への利用』を解く3ステップは以下でした。

• 聞かれていることは何かを確認する
• 聞かれていることに答えるための式を作る
• 式の計算をする

　多項式の文章題に限らず、全ての文章題でこの3ステップは使えます。

　文章題に出会ったらまずは冷静に、聞かれていることは何かを把握しましょう。

　それさえ理解できれば、あとはどうにかなるものですよ。