【平方根】分母の有理化のやり方を解説！試験で役立つテクニックも紹介します

　平方根の問題を解く上で避けては通れない有理化。とはいえ、しばらくやらないと有理化のやり方を忘れてしまいますよね。

　この記事では分母の有理化のやり方を『①分母に平方根が1個ある場合』『②分母が平方根を用いた式の場合』の2つに分けて解説します。

　さらに、テストや受験、そして高校以降の数学の学習にも役立つ有理化の時短テクニックを教えます。

分母の有理化とはなにか？

　平方根の学習をしていると、$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 2 }}$のように、分母にルートの数がある分数を見ることがありますよね。

　有理化とは、このような分数で分母にあるルートの数をなくすことです。

　例えば$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 2 }}$なら$\displaystyle \frac{\sqrt{ 2 }}{2}$とします。(有理化のやり方はこの後で解説します。)

　テストなどでは、分母を有理化した状態で答えるというルールがあります。

　つまり、数学を学ぶ上では有理化できることは必須なのです。

分母の有理化のやり方

　ここからは分母の有理化のやり方を解説します。

　有理化が必要な分数は以下の2パターンです。

• 分母に平方根が1個ある場合
• 分母が平方根を用いた式の場合

　以下で詳しく解説します。

①分母に平方根が1個ある場合

　まずは分母に平方根が1個ある場合の有理化の方法を解説します。

　分母の平方根をなくすため、分母にある平方根と同じ平方根の数を、分母と分子にかけます。

　$\displaystyle \frac{9\sqrt{ 2 }}{\sqrt{ 3 }}$

$＝\displaystyle \frac{9\sqrt{ 2 }×\color{red}\sqrt{ 3 }}{\sqrt{ 3 }×\color{red}\sqrt{ 3 }}$

$＝\displaystyle \frac{\cancel{9}\sqrt{ 6 }}{ \cancel{3} }$

$＝3\sqrt{ 6 }$

有理化した後に約分を忘れないのがポイントだね！

②分母が平方根を用いた式の場合

　次は分母が平方根の式の場合、どのように有理化するかを解説します。

　分母が平方根を用いた式の場合、有理化するためには展開公式$(x+a)(x-a)$を利用します。

　$\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }}{\sqrt{2}+1}$の場合、分母に$\color{red}\sqrt{2}-1$をかけます。そうすると、展開公式$(x+a)(x-a)$を使えますよね。

　また、分母に$\color{red}\sqrt{2}-1$をかけるということは、分子にもかけなくてはいけません。

$\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }}{\sqrt{2}+1}$

$＝\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }×(\color{red}\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\color{red}\sqrt{2}-1)}$

$＝\displaystyle \frac{\sqrt{ 6 }-\sqrt{ 3 }}{(\sqrt{2})^2-1^2}$

$＝\displaystyle \frac{\sqrt{ 6 }-\sqrt{ 3 }}{(\sqrt{2})^2-1^2}$

$＝\displaystyle \frac{\sqrt{ 6 }-\sqrt{ 3 }}{2-1}$

$＝\sqrt{ 6 }-\sqrt{ 3 }$

　展開公式$(x+a)(x-a)$を使えるような式を、分母と分子にかけるのがポイントです。

分母の有理化を簡単にやる時短テクニック

　ここまで見てきた通り、分母の有理化をする工程が多いので、時間がかかってしまいますよね。

　テストや受験など、時間に限りがある場合は分母の有理化を煩わしく感じるかもしれません。

　そこで、少しでも有理化を楽にする時短テクニックを紹介します。

　このテクニックは、$\color{red}\sqrt{ a }×\sqrt{ a }=a$となることを利用します。

　このテクニックは例のように、分母のルートの中の数と、分子の数が同じ場合に使えます。

$\sqrt{ a }×\sqrt{ a }=a$だから、

$\sqrt{ 3 }×\sqrt{ 3 }=3$になるよね

　分子の$3$を$\sqrt{ 3 }×\sqrt{ 3 }$に変えてみましょう。

$\displaystyle \frac{3}{\sqrt{ 3 }}$

$＝\displaystyle\frac {\sqrt{ 3 }×\bcancel{\sqrt{ 3 }}}{\bcancel{\sqrt{ 3 }}}$

$=\sqrt{ 3 }$

　分母に$\sqrt{ 3 }$をかけて有理化するよりも簡単ですよね。

　このテクニックは次のような場合でも使えます。

分母のルートの中の数と、分子の数が同じじゃないよ？

　この場合は分子の数を工夫しましょう。

$10＝2×5$だ！

　こうすると分子に、分母のルートの中の数と同じ数が現れますよね。

$\displaystyle \frac{10}{\sqrt{ 5 }}$

$＝\displaystyle \frac{2×5}{\sqrt{ 5 }}$

$＝\displaystyle \frac{2×\sqrt{ 5 }×\bcancel{\sqrt{ 5 }}}{\bcancel{\sqrt{ 5 }}}$

$＝2\sqrt{ 5 }$

　このように、普通に有理化をするよりも簡単にできます。

　有理化を工夫することで解答時間を短くできるので、時間制限のあるテストや受験で役立ちます！

まとめ

　分母の有理化についてまとめます。

　試験のルールとして、分母の有理化をするように言われることがあります。しかし、有理化の作業でミスをしてしまうと、そのままバツになってしまいます。

　分母の有理化をミス無くできるようになりましょう。