【中3数学・相似】面積比と体積比を用いた『円錐内の水』の問いを解説

　中3数学『相似』のラスボスといえば、面積比・体積比を用いて解く『円錐内の水』の問いです。

　私が塾講師として生徒を見ていると、ほとんどの人が『円錐内の水』の問いでつまづいています。

　しかし、相似比と面積比・体積比の関係がわかれば簡単に解けるようになりますよ！

　この記事では、まずは前提知識として相似比と面積比・体積比の関係を確認します。

　その後で、円錐内の水の問い、①水はあとどれくらい入るか、②水で出来た円錐の表面積はいくらかを解説します。

【前提知識】相似比と面積比・体積比との関係

　まずは相似比と面積比・体積比の公式を確認します。

　その後で相似比から面積比・体積比を用いる例題を行い、公式をきちんと使えるかを確認します。

　これくらいは余裕だよ！　という人は読み飛ばしOKです。

①相似比と面積比・体積比の公式

　まずは相似比と面積比・体積比の公式を確認しましょう。

②面積比・体積比を用いる基礎例題

　次に、相似比を用いて面積比・体積比を求める基礎的な例題を行います。

　①について。

　面積比は$2^2:3^2={\color{red}{4:9}}$

　体積比は$2^3:3^3={\color{red}{8:27}}$

　②について。

　①より、△ABCと△DEFの面積比は$4:9$なので、△DEFの面積は

　$4:9=10:x$

　$x=22.5$

　よって$\color{red}{22.5cm^2}$

面積比と体積比を用いた『円錐内の水』の問いを解説

　次からはいよいよ、面積比と体積比を用いた『円錐内の水』の問いを解説します。

　問題は以下です。

　解説はこの後です。

①水はあと何$cm^3$入る？

　水の入っている部分を円錐と見ると、水でできた円錐と、円錐の入れ物の相似比は、

　$5:10=1:2$

　よって体積比は$1^3:2^3=1:8$

　さて、水の体積がわかっているので、体積比から入れ物の体積を求められます。

　そして(入れ物の体積)-(水の体積)をすれば、あと何$cm^3$の水が入るかがわかります。

　$1:8=80:x$

　$x=640$

　よって入れ物の体積は$640cm^3$なので、

　640-80=560

　よって答えは$\color{red}{560cm^3}$

②水でできた円錐の表面積は？

　この問いを解く鍵は、円錐の入れ物の表面積です。

　それさえ計算できれば、あとは面積比から水で出来た円錐の表面積を求められます。

　さて、円錐の表面積を求める方法を覚えているでしょうか？

　円錐の表面積を求めるポイントは、側面のおうぎ形の、中心角を求めることです。

　忘れてしまった人はこの記事を参考にしてくださいね。

　円錐の入れ物の展開図を見てみましょう。

　このように、円錐を展開すると、『円』とおうぎ形に分れます。

　円錐の表面積を求めるためには、それぞれの面積の和を求めればよいのです。

おうぎ形の中心角がないよ？

　おうぎ形の中心角を求める方法は、

• 底面の円の円周＝おうぎ形の弧の長さ
• おうぎ形の弧の長さを求める公式から中心角を求める

　以上の2つがポイントです。

　円の半径が7cmなので、$円周の長さ=2πr=2×π×7=14π(cm)$

　よっておうぎ形の弧の長さも$14π(cm)$

　次におうぎ形の弧の長さを求める公式に代入して、おうぎ形の中心角を求めましょう。

　おうぎ形の弧の長さ=$14π(cm)$、おうぎ形の半径=$10cm$で、中心角をa°とすると

　$14π=2×π×10×\frac{a}{360}$

　$a=150°$

　よって、円錐の入れ物の表面積は、

　$(底面の円の面積)+(側面のおうぎ形の面積)$

　$=7×7×π+10×10×π×\frac{150}{360}$

　$=49π+\frac{125}{3}$

　$=\frac{250}{3}cm^2$

　ここからが本題です。

　水でできた円錐と円錐の入れ物の相似比は$5:10=1:2$

　よって面積比は$1:4$です。

　さっき円錐の入れ物の体積を求めたので、この面積比から、水で出来た円錐の表面積を求めます。

　$1:4=x:\frac{250}{3}$

　$x=\frac{125}{6}$

　よって、水で出来た円錐の表面積は$\color{red}{x=\frac{125}{6}cm^3}$

まとめ『相似比と面積比・体積比の関係と円錐の問い』

　相似比と面積比・体積比の関係と円錐の問いについてまとめます。

　円錐の問題では、円錐の表面積を求める方法のような、中1で習った内容がでてきます。

　難しく見えるかも知れませんが、既に習った内容を一つ一つ振り返れば、必ずできるようになりますよ。