中3数学『相似』のラスボスといえば、面積比・体積比を用いて解く『円錐内の水』の問いです。

　私が塾講師として生徒を見ていると、ほとんどの人が『円錐内の水』の問いでつまづいています。

　しかし、相似比と面積比・体積比の関係がわかれば簡単に解けるようになりますよ！

　この記事では、まずは前提知識として相似比と面積比・体積比の関係を確認します。

　その後で、円錐内の水の問い、①水はあとどれくらい入るか、②水で出来た円錐の表面積はいくらかを解説します。

【前提知識】相似比と面積比・体積比との関係

　まずは相似比と面積比・体積比の公式を確認します。

　その後で相似比から面積比・体積比を用いる例題を行い、公式をきちんと使えるかを確認します。

　これくらいは余裕だよ！　という人は読み飛ばしOKです。

①相似比と面積比・体積比の公式

　まずは相似比と面積比・体積比の公式を確認しましょう。

②面積比・体積比を用いる基礎例題

　次に、相似比を用いて面積比・体積比を求める基礎的な例題を行います。

　①について。

　面積比は$2^2:3^2={\color{red}{4:9}}$

　体積比は$2^3:3^3={\color{red}{8:27}}$

　②について。

　①より、△ABCと△DEFの面積比は$4:9$なので、△DEFの面積は

　$4:9=10:x$

　$x=22.5$

　よって$\color{red}{22.5cm^2}$

面積比と体積比を用いた『円錐内の水』の問いを解説

　次からはいよいよ、面積比と体積比を用いた『円錐内の水』の問いを解説します。

　問題は以下です。

　解説はこの後です。

①水はあと何$cm^3$入る？

　水の入っている部分を円錐と見ると、水でできた円錐と、円錐の入れ物の相似比は、

　$5:10=1:2$

　よって体積比は$1^3:2^3=1:8$

　さて、水の体積がわかっているので、体積比から入れ物の体積を求められます。

　そして(入れ物の体積)-(水の体積)をすれば、あと何$cm^3$の水が入るかがわかります。

　$1:8=80:x$

　$x=640$

　よって入れ物の体積は$640cm^3$なので、

　640-80=560

　よって答えは$\color{red}{560cm^3}$

②水でできた円錐の表面積は？

　この問いを解く鍵は、円錐の入れ物の表面積です。

　それさえ計算できれば、あとは面積比から水で出来た円錐の表面積を求められます。

　さて、円錐の表面積を求める方法を覚えているでしょうか？

　円錐の表面積を求めるポイントは、側面のおうぎ形の、中心角を求めることです。

　忘れてしまった人はこの記事を参考にしてくださいね。

　円錐の入れ物の展開図を見てみましょう。

　このように、円錐を展開すると、『円』とおうぎ形に分れます。

　円錐の表面積を求めるためには、それぞれの面積の和を求めればよいのです。

おうぎ形の中心角がないよ？

　おうぎ形の中心角を求める方法は、

• 底面の円の円周＝おうぎ形の弧の長さ
• おうぎ形の弧の長さを求める公式から中心角を求める

　以上の2つがポイントです。

　円の半径が7cmなので、$円周の長さ=2πr=2×π×7=14π(cm)$

　よっておうぎ形の弧の長さも$14π(cm)$

　次におうぎ形の弧の長さを求める公式に代入して、おうぎ形の中心角を求めましょう。

　おうぎ形の弧の長さ=$14π(cm)$、おうぎ形の半径=$10cm$で、中心角をa°とすると

　$14π=2×π×10×\frac{a}{360}$

　$a=150°$

　よって、円錐の入れ物の表面積は、

　$(底面の円の面積)+(側面のおうぎ形の面積)$

　$=7×7×π+10×10×π×\frac{150}{360}$

　$=49π+\frac{125}{3}$

　$=\frac{250}{3}cm^2$

　ここからが本題です。

　水でできた円錐と円錐の入れ物の相似比は$5:10=1:2$

　よって面積比は$1:4$です。

　さっき円錐の入れ物の体積を求めたので、この面積比から、水で出来た円錐の表面積を求めます。

　$1:4=x:\frac{250}{3}$

　$x=\frac{125}{6}$

　よって、水で出来た円錐の表面積は$\color{red}{x=\frac{125}{6}cm^3}$

まとめ『相似比と面積比・体積比の関係と円錐の問い』

　相似比と面積比・体積比の関係と円錐の問いについてまとめます。

　円錐の問題では、円錐の表面積を求める方法のような、中1で習った内容がでてきます。

　難しく見えるかも知れませんが、既に習った内容を一つ一つ振り返れば、必ずできるようになりますよ。

　二次方程式の解の公式を習ったとき、その複雑さにド肝を抜かれた人がいることでしょう。

　しかし、公式の暗記は意外と簡単なもの。たくさん問題を解いているうちに勝手に手が動くようになったかと思います。

　じゃあ、なぜあなたは解の公式を用いた二次方程式の計算でミスをしてしまうのか？

　私の塾講師としての経験より、以下のあるあるミス3選を解説します。

• 解の公式にマイナスを代入し忘れる
• 約分ミス
• 分子の計算ミス

　この記事では始めに二次方程式の解の公式を確認したあと、解の公式を用いた計算のあるあるミス3選を解説します。

　この記事を読めば、あなたが二次方程式を解の公式で解くときにミスをしてしまう原因がわかるので、テストや模試・入試での得点UPを目指せます。

そもそも二次方程式『解の公式』を覚えていますか？

　そもそも解の公式を完璧に覚えていますか？

　ドキッとした人は、この場で覚えてしまいましょう。

【解の公式】あるあるミス3選を塾講師が解説

　ここからは塾講師の私が、二次方程式を解の公式で解くときのあるあるミスを3つ解説します。

• 解の公式にマイナスを代入し忘れる
• 約分ミス
• 分子の計算ミス

　これらのミスはみんなが経験していくので、あなたにも当てはまるミスがあるはずです！

①解の公式にマイナスを代入し忘れる

　解の公式にマイナスを代入し忘れるミスが多い！！　多すぎる！！

　そのミスをしたことのない人は、私が担当した生徒にはいません。

　自分は大丈夫！　って思った？

　それなら、次の問題を解いてみましょう。

　解の公式に、次のように代入していませんか？

　正しくは次のように、b=-3,c=-1と、マイナスごと代入します。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}}$

②約分ミス

　解の公式を用いた二次方程式の計算では、分数の約分がでてきます。

　さて、あなたは次の二次方程式の計算で、正しく約分できるでしょうか？

　まずは普通に、解の公式に代入して計算します。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4×3×(-6)}}{2×3}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{6}$

　ここで、忘れずにルートの中身を出しましょう。

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{19}}{6}$

　ここからが重要です。

　分母の6、分子の-2、$2\sqrt{19}$は全て2で割れるので約分できます。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{3}}$

　ちなみに、次のように分子が『×』で繋がっているときは、約分の仕方が変わります。

③分子の計算ミス

　解の公式に登場する『±』の意味を考えたことはありますか？

　『±』ということは、『+』の数と『-』の数の2つが存在するということ。

　問題によっては『+』の場合と『-』の場合を考えて計算する必要がでてきますが、これもまたミスが多いところです。

　解の公式に代入してみましょう。

　$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4×3×(-2)}}{2×3}$

　$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2×3}$

　$x = \frac{-1 \pm 5}{6}$

　このようにルートが外れて分子が整数になったとき、分子を計算しなければいけません。

　この問題では、$x = \frac{-1 \pm 5}{6}$は$\frac{-1 + 5}{6}$と$\frac{-1 – 5}{6}$の2つがあります。

　よって答えは$\color{red}{x = \frac{2}{3} , -1}$

【塾講師は見た】解の公式はみんな同じミスをする！

　解の公式で解く二次方程式って、公式の複雑さにみんなビビる割には、結構できるようになるんですよ。

　でもね、上に挙げたようなミスをして、テストで減点をくらっているのです。

　それって！　それっっっっって！　ちょおおおおおおおおおおもっっっったいない！！！

　正直ね、マイナスを代入し忘れるとか、約分、分子の計算ミスとか、そういうのって『数学のやり慣れてなさ』から来るんです。

　それは中学生や高校生なら、じゅうぶん起こりうるミス。

　だから、たかが計算ミスと思わず、自分のミスの原因をちゃんと見て、少しずつ改善していってほしいなと、塾の先生は思います。

まとめ『二次方程式の解の公式あるあるミス3選』

　解の公式を用いた二次方程式の計算は、計算問題自体だけでなく、入試によく出る二次関数の問題を解くときにも使います。

　二次方程式は数学の基礎です。この機会に、しっかりとマスターしておきましょう。

　因数分解を用いる二次方程式の解き方は、かけ算する2つの数のうち、どちらかが0なら答えは0であることを利用します。

　この考え方さえ押さえておけば、因数分解を用いた二次方程式の解き方はバッチリ！

　でもそれがわからなければ、次のような問題でつまづいてしまうのです。

　$x^2-3x=0$

　$x(x-3)=0$

xでくくったあと、どうすればいいの～！？

　この記事では最初に因数分解の公式をおさらいしたあと、因数分解を用いる二次方程式の考え方を詳しく解説します。

　そのあとで、因数分解を用いた二次方程式の解き方を、解が2つのときと解が1つ(重解)のときを解説します。

　最後に因数分解を用いた二次方程式の問題演習を用意しているので、ぜひ力試しまでしていってください！

【前提知識】因数分解を覚えていますか？

　まずなんといっても、因数分解の公式を覚えていないことには始まりません！！

　ドキッとした人は、次の公式を確認して、因数分解についての記事も読んでくださいね。

　もちろん、因数分解は大丈夫！　というあなたはこのままGO！

【必見】因数分解を用いた二次方程式を解く共通の考え方

　因数分解を用いた二次方程式の解き方に共通する考え方があります。

　まずはその考え方を確認しましょう。

　因数分解をしたあとの式って、$(x-1)(x-3)$のようになりますよね。

　$(x-1)(x-3)$は$(x-1)×(x-3)$のようにかけ算でできています。

　つまり二次方程式$(x-1)(x-3)=0$であれば、x-1=0かx-3=0が成り立つと考えれば二次方程式を解くことができるのです！

因数分解を用いた二次方程式の解き方

　ここからはいよいよ、因数分解を用いた二次方程式の解き方を解説します。

　因数分解を用いた二次方程式の解き方を、

• 解が2つになる
• 解が1つ(重解)になる

　ときの2パターンに分けてお話しします。

①解が2つ

　まずは解が2つになる場合の解き方を解説します。

　まずは①について。

　$x^2+3x=0$の右辺を見ると、xでくくれそうですよね。

　公式を使うだけでなく、このようにくくるだけでも因数分解と言えるので忘れないように！

　$x^2+3x=0$
　$x(x+3)=0$

　さて、$x(x+3)=0$の左辺はどういう式でしょうか？

$x(x+3)=0$の左辺はかけ算の式で、

$x×(x+3)=0$と見ることができるね！

　$x×(x+3)=0$となるということは、かけ算の式のどちらかが0になれば良いのでした。

　つまり、x=0、x+3=0より、解はx=0,-3です。

　②について。

　$x^2-5x+6=0$を因数分解すると$(x-2)(x-3)=0$です。

　つまり$(x-2)×(x-3)=0$ということ。

$(x-2)×(x-3)=0$だから、

$x-2=0,x-3=0$ってことだね

　よって解はx=2,3です

②解が1つ(重解)

　まず、次の知識を頭に入れましょう。

　重解になる二次方程式の問題を解説します。

　まずは因数分解をします。

　$x^2+2x+1=0$

　$(x+1)^2=0$

　このときは、x+1=0になると考えればOKです。

　よって解はx=-1となります。

なんで『重解』っていうの？

　$(x+1)^2=0$は$(x+1)(x+1)=0$と見ることができます。

　解が2つになるときの考え方と同じように考えると、x+1=0またはx+1=0となる、と言えますよね。

　つまり解はx=-1とx=-1の2つと考えられます。

　とはいえ、『xに当てはまる数はなに？』と聞かれて、『-1と-1だよ！』って答える人はいませんよね。

　だから本当は答えが2つだけど、同じ数になっちゃったから1つだけ答えるのです。

　これを重なった解、つまり重解と言うのです。

公式$(x+a)(x-a)$は使わないの？$x^2=○$との関係も解説

　さて、ここまでで因数分解の公式を復習したあとに因数分解を用いた二次方程式の解き方を解説しました。

　因数分解の公式を復習した人は、なにか疑問に思いませんでしたか？

$x^2-a^2=(x+a)(x-a)$は使わないの？

　もちろん、$x^2-a^2=(x+a)(x-a)$を用いて二次方程式を解くこともできます。

　しかし、中学の範囲では$x^2=○$の解き方を使うのが一般的です。

　では、例を見てみましょう。

　この問いは二次方程式の始めの方に、$x^2=○$の解き方で習いましたよね。

　$x^2-9=0$

　$x^2=9$

　$\color{red}{x=±3}$

　しかし因数分解を用いた解き方を知っているあなたなら、次の解き方もできますよ。

　$x^2-9=0$

　$(x+3)(x-3)=0$

　$\color{red}{x=3,-3}$

　どちらの方法で解いても答えは一緒！

　あなたにとってラクな方で問題を解きましょう！

【問題演習】因数分解を用いた二次方程式の計算

　今までに習ったことを思い出しながら、因数分解を用いた二次方程式の計算問題をやってみましょう。

　①について。

　$x^2+4x=0$

　$x(x+4)=0$

　よって$x=0,-4$

　②について。

　$x^2−7x+10=0$

　$(x−2)(x−5)=0

　よって、$x=2,5$

　③について。

　$x^2+16x+64=0$

　$(x+8)^2=0$

　よって$x=-8$

まとめ『因数分解を用いた二次方程式の考え方と解き方』

　因数分解を用いた二次方程式の考え方と解き方についてまとめます。

　この単元はそもそも因数分解を覚えていないと解けません。

　二次方程式の計算問題はテストで得点しやすいので、因数分解を忘れていた人は必ず復習し、二次方程式を解けるようにしましょう。

　あなたは有限小数、無限小数、循環小数の区別はついていますか？

　学校ではサラッと流されてしまうため、特に無限小数と循環小数の違いがわかりにくいまま終わってしまいますよね。

　この記事ではまず、有限小数、無限小数、循環小数を表にまとめて解説します。

　その後で、有限小数、無限小数、循環小数それぞれについて詳しく解説します。

　有限小数、無限小数、循環小数の違いを有理数・無理数とからめて解説しているので、周辺知識も押さえつつ暗記できますよ！

【図解】有限小数・無限小数・循環小数を表にまとめて理解

　まずは有限小数・無限小数・循環小数を、表にしてまとめてみます。

　有限小数・無限小数・循環小数の違いを整理するときに、それらが有理数と無理数のどちらなのかを合わせて覚えましょう。

　周辺知識も一緒に覚えると、テスト対策に役立ちますよ！

　有理数と無理数がなにかがわからない人は、以下の記事を読んでから戻ってきてくださいね。

有限小数・無限小数・循環小数の違いを詳しく解説

　有限小数・無限小数・循環小数について、詳しく解説します。

有限小数

　有限小数は終わりのある小数のことです。

　有限という言葉を初めて聞いた人がいることでしょう。

　有限とは無限の反対のこと。言葉の意味からも、終わりのある小数であることがわかりますね。

　終わりのある小数は分数で表せるので、有限小数は有理数です。

無限小数・循環小数

　無限小数とは、終わりのない小数のことです。

　無限小数には次の2種類があります。

　循環小数とは、無限小数の一種なのです。

循環しない無限小数は、現れる数字に規則性がないんだね

　循環小数は分数で表すことができるので、有理数です。

　循環小数を分数で表す方法は高校の数学Ⅰで習います。

　興味のある人は、以下の記事を読んでくださいね。

　対して循環しない小数は分数で表せないので、無理数です。

循環しない小数の例で円周率があるから、循環小数は分数で表せないと覚えようかな

【参考】循環小数の表し方

　最後に循環小数の表し方を紹介します。

　次の例を用いて、循環小数の表し方を解説します。

　①について。

　0.333333……は3が繰り返し現れるので、3の上に『・』を書きます。

　よって、$0.333333\cdots\cdots=0.\dot{3}$

　②について。

　0.12121212……は12が繰り返し現れるので、1と2の上に『・』を書きます。

　よって$0.12121212\cdots\cdots=0.\dot{12}$

　③について。

　0.123123123……の繰り返し現れている数は123の3桁です。

　繰り返し現れる数が3桁以上のとき、初めと終わりの数の上だけ『・』を書きます。

　よって$0.123123123\cdots\cdots=0.\dot{1}2\dot{3}$

2には『・』を書かないんだね

まとめ

　有限小数・無限小数・循環小数の違いについてまとめます。

まとめ

　似たような用語が出てくると覚えづらくて混乱してしまいますが、周辺知識と一緒に覚えると記憶に残りやすいです。

　この記事で学んだことを活かし、テスト勉強頑張ってください！

　有理数と無理数を見分ける問題がよくわからない！　という中学生はあなただけではありません。

　特に不思議に思うのは、ルートの数なのに有理数に分類されることがあるときですよね？

　しかし、有理数と無理数の意味と、有理数と無理数を見分けるポイントさえわかれば、何も不思議なことはないのです。

　この記事ではまず、有理数と無理数とは何かを解説します。

　有理数と無理数を見分けるポイントを解説し、最後に有理数と無理数を見分ける問題を用意しています。

有理数と無理数とは何かを解説

　有理数と無理数の見分け方を解説するまえに、有理数と無理数の意味を確認します。

　有理数と無理数の意味はわかってるよ！　というあなたは、有理数と無理数の見分け方に進んでください。

有理数とは『分数で表せる数』

　有理数とは、分数で表せる数のことです。

　整数と小数は、分数で表せますね。

3は$\frac{3}{1}$

0.1は$\frac{1}{10}$

って表せるね！

　ポイントは、$\color{red}{\sqrt{9}}$も有理数であることです。

$\sqrt{9}=3$で整数だから、有理数なんだね

　有理数と無理数を分類する問いでルートがついてるのに有理数だった！　と思ったことのあるあなたは、そのルートの数が整数で表せないかを考えてみましょう。

無理数とは『分数で表せない数』

　無理数とは、分数で表せない数のことです。

　分数で表せない数って、ちょっとイメージしづらいですよね。

　でも大丈夫です。

　無理数は『整数に直せないルートの数』と『円周率』であると覚えればOKです！

有理数と無理数の見分け方

　ここからは有理数と無理数の見分け方を解説します。

　有理数と無理数の見分け方で混乱するのは、ルートがついているのに有理数だった！という時ですよね。

　この後で有理数と無理数を見分けるポイントを解説するので、それを読めば疑問を解決できますよ！

【必見】有理数と無理数を見分けるポイント

　まずは有理数と無理数を見分けるポイントを解説します。

　有理数と無理数の意味より、その数が分数で表せるか、表せないかをまず考えます。

　ポイントは、ルートの数が整数で表せるか表せないかを見分けることです。

　例えば$\sqrt{16}$は、$\sqrt{16}=4$と整数で表せるので有理数です。

　$\sqrt{5}$は整数で表せないので無理数でOKです。

ルートがついてるのに有理数だったときは、整数に直せないか確認してみよう

【問題】有理数と無理数を見分ける問題

　有理数と無理数を見分けるポイントは以下です。

　このポイントに乗っ取り、有理数と無理数に分類すると以下のようになります。

　$\sqrt{36}$について。

　$\sqrt{36}=6$と整数で表せるので有理数です。

　また、$0$は$\frac{0}{1}$などと分数で表せます。

まとめ

　有理数と無理数を見分ける方法についてまとめます。

　有理数と無理数の説明で、ルートの数は無理数だよ、と教えられた人がいるかと思います。

　そのように丸暗記しているの有理数と無理数の分類で引っかかってしまうので、ルートの数が整数で表せるかを確認するクセをつけましょう。

　置き換えを用いる展開で、あなたは置き換えを上手に使いこなせていますか？

　$(x+y+1)(x+y-2)$のような問題はパッと解き方を思いつくかもしれません。

　しかし、以下の3つの問題はどうでしょうか？

• 並べ替えが必要な問題
  $(x+2-y)(x-y-3)$
• マイナスでくくる問題
  $(a+2b-5)(a-2b+5)$
• 項が3つで2乗の問題
  $(a+b+3)^2$

　これらの問題の解き方をすぐに思い浮かばないあなたは、置き換えを『同じものを文字で置き換えること』と理解していますね？

　置き換えをする目的は、文字を減らすことです。

　この本質を理解していれば、置き換えの問題が楽勝になりますよ！

　この記事ではまず、置き換えをする目的『文字数を減らす』についてお話しします。

　その後で、置き換えが必要な問題3パターンの解き方を解説します。

【ポイント】展開の置き換えは文字を減らすためにする

　置き換えが必要な展開が難しく感じる人は、まず置き換えは文字を減らすために行うのだと理解しましょう。

　『展開の置き換え＝同じものを文字で置き換える』と理解している人は多いかと思います。

　実際、学校や塾でもそうやって教えられますよね。

　しかし『展開の置き換え＝同じものを文字で置き換える』とばかり思っていると、展開の応用問題でつまづいてしまいます。

　例えば以下のような問題で戸惑ってしまうことでしょう。

• 並べ替えが必要な問題
  $(x+2-y)(x-y-3)$
• マイナスでくくる問題
  $(a+2b-5)(a-2b+5)$
• 項が3つで2乗
  $(a+b+3)^2$

　このあと、それぞれの問題の解き方を解説します。

置き換えをする展開3パターンの解き方

　ここからは以下の3パターンについて、解き方を解説します。

①並べ替えが必要な問題

　一見、置き換え出来る場所がない！　と思うかもしれません。

　しかしかっこの中の文字を入れ替えれば、置き換え出来ます。

　$(x+2{\color{red}{-y}})(x-y-3)$

　$=(x{\color{red}{-y}}+2)(x-y-3)$

-yの位置を変えたら、『x-y』を置き換えられるようになったね！

②マイナスでくくる問題

共通する部分がないから置き換えできないよ？

　共通する部分がないように見えますが、項を見る限りなんかおしいですよね。

『2b』と『5』の符号が逆だから、置き換えできない

　符号が逆だけど項は同じ場合、マイナスでくくれば解決です！

マイナスでくくる

　『-2b+5』をマイナスでくくったら、『2b-5』という共通部分が現れたので置き換えができますね。

　解答は以下です。

③項が3つで2乗の問題

　項が3つの展開でも、置き換えを使って解けます。

共通の項とかないじゃん！

　そもそも置き換えは、文字を減らすために行うのでした。

　3つより2つの項の方が計算しやすいですよね？

　だから以下のように置き換えて、ラクに計算しましょう！

　置き換えを共通する部分に対してするものだと思っていると、3つの項の展開でどうやって置き換えていいかわからなくなります。

　そこで、置き換えは文字を減らすためだと理解すれば、この問いでも戸惑わずに置き換えを利用できますよね。

　以下、解答です。

まとめ

　展開で置き換えをする目的は、文字を減らすことです。

　文字を減らしたら計算がしやすいですよね。

　だから項を並べ替えたり、マイナスでくくったりして共通の項を作ってでも置き換えをするのです。

　また、項が3つの展開よりも2つの方がラクに計算できますよね。そのためにも置き換えを使います。

　置き換えを使う目的を正しく理解しましょうね。

　半球の表面積を求める時は、半球のドームの部分と断面の部分をそれぞれ求めなければいけません。

　それって面倒だな、と思ったことはありませんか？

　実は、半球の表面積を一発で求める公式があるのです。

　この記事では、半球の表面積を一発で求める公式を紹介します。

　その公式が成り立つ理由も解説しているので、ぜひ最後まで読んでくださいね。

半球の表面積を求める裏技公式

　まずは半球の表面積を求める裏技公式をを紹介します。

　半球の表面積を$S=3×πr^2$と見ると、断面の円の面積は$πr^2$なので、半球の表面積は断面の面積の3倍だということですね。

裏技公式が成り立つことを確認

　半球の表面積は$S=3πr^2$、つまり断面の円の面積の3倍です。

　このことを、次の例題を用いて確認します。

　ここでは裏技公式ではなく、(球の表面積×1/2)+(断面の面積)をする方法で解きましょう。

　裏技公式を知らなければ、この方法で解くことになりますよね。

　ピンとこない人は、以下の記事を参考にしてください。

例題

次の半球の表面積を求めなさい。

ただし、半径はrとする。

　球の表面積を求める公式を覚えていますか？

球の表面積を求める公式は$4πr^2$だね！

　これは半球なので、$4πr^2$にさらに$\frac{1}{2}$するわけです。

　また、半球の断面を計算に加えるのを忘れてはいけません。

　半球の断面は円なので、球の半径を用いて断面の円の面積を用います。

　例題の半球の半径はrなので、表面積を求める式は以下のようになります。

　$πr^2$は断面の円の面積ですよね。

　半球の表面積を求めたら最終的に$3πr^2$となったので、半球の表面積は断面の円の面積の3倍になると言えます。

まとめ

　半球の表面積を求める公式を知らなければ、半球のドームの部分と半球の断面の部分の面積をそれぞれ求めなければいけないので面倒ですよね。

　しかしこの公式を知っていれば楽に解けます。

　それほど大変な暗記ではないので、ぜひ覚えておいてくださいね。

　円周角の定理の逆について、教科書を読んでもよくわからなかったという人がいることでしょう。

　そもそも円周角の定理とはなんなのかを、あなたは説明できますか？

　円周角の定理がなんなのかを説明できなければ、その逆と言われてもピンとこないのは当然です。

　この記事では円周角の定理の逆とは何かを解説します。

　前提知識である円周角の定理から確認しているので、知識に不安がある人でも安心して読んでくださいね。

　また、円周角の定理の逆でよく出てくる『同じ側』という説明が何を意味するのかも解説しています。

【前提知識】円周角の定理とは？

　円周角の定理の『逆』を学習する前に、まず円周角の定理とは何かを説明できますか？

　円周角の定理では、下図のように円周上の4点を結ぶと円周角が等しくなることを言います。

　つまり円周角の定理とは『4点が円周上にある⇒円周角が等しくなる』ことを言っているのです。

円周角の定理の逆について解説

　ここからは円周角の定理の逆について解説します。

　また、『円周角の定理の逆』の説明でよく出てくる『同じ側』とはどういう意味かも解説します。

円周角の定理の逆とは何か？

　円周角の定理の逆とは、文字通り『円周角の定理』の『逆』を言っているに過ぎません。

　円周角の定理とは『4点が円周上にある⇒円周角が等しくなる』ことを言っているのでしたね。

　『円周角の定理の逆』とはつまり、『4点を結んだら角度(円周角)が等しい⇒4点が円周上にある』ことを言っているのです。

円周角の定理の逆『同じ側』とは？

　円周角の定理の逆について教科書で調べてみたら、『同じ側』というワードがよく出てくるかと思います。

　『同じ側』とは下の図でいうと、直線ABに対して点Pと点Qの2点が弧の同じ側にあるということなのです。

　直線ABは、弧を2つに分けていますよね。

　点Pと点Qが2つとも同じ側の弧にないと、円周角の定理の逆が成り立たないのです。

　ちなみに、直線ABに対して点Pと点Qがそれぞれ弧の逆側にある場合は以下の図のようになります。

まとめ

　円周角の定理の逆を理解するには、説明を図で正しく表す必要があります。

　あまり登場頻度は高くないので、円周角の定理とは何かを忘れがちです。

　しばらくしたらまた復習しましょう。

　都立高校入試の数学では、大問1を死守することが重要ですよね。

　しかし円周角の問題が思ったよりも難しくて、困っているのではないでしょうか？

　この記事では都立高校入試を受けるあなたに向けて、数学大問1『円周角』の対策法と、円周角の問題を解くポイントを5つ紹介します。

　この記事を読めば円周角の問題を解けるようになり、模試や入試本番でも実力を発揮できるようになりますよ！

【対策法】都立高校入試の円周角を解けるようになるには？

　都立高校入試の過去問を見たり、模試を受けたあなたならわかるかもしれません。

　都立高校入試の円周角の問題は、パッと見ただけですぐに解けるほど簡単ではありませんよね。

　都立高校入試の円周角の問題を解けるようになるためには、教科書の節末問題や章末問題レベルの問いを演習しましょう。

　学校の問題集で言うと、標準～応用問題レベルです。

円周角の応用問題なんて、どうやって解いたらいいかわからないよ～

　そんなあなたのために、この先では都立高校入試で円周角の問題を解くポイントを紹介するので、目を通してくださいね。

　そもそも基礎的な問題から怪しい！　という人は以下の記事から読んでくださいね。

都立高校入試大問1『円周角』を解くポイント5選

　ここからは都立高校入試大問1『円周角』を解くポイントを5つ紹介します。

　以下で詳しく解説します。

①円周角の大きさは中心角の大きさの半分

　まずは基本中の基本。円周角の大きさは、中心角の半分であることです。

　受験勉強をしている人にとっては当たり前のことかもしれません。

　しかし試験本番では以外と頭から抜けてしまうもの。今一度、確認しましょう。

②直径に対する円周角は90°

　直径に対する円周角は90°であることも、基本中の基本です。

　しかし問題に出てくる図には、上の画像のように『直角マーク』がない場合があるので、その時に『直径に対する円周角だ！』と気づかないことがあります。

　直角マークがなくても、直径に対する円周角は90°です。忘れないようにしましょう。

③円の半径の長さは等しい

　円の半径は、どこをとっても長さが等しいことを抑えましょう。

　上の図のように補助線を引くと、二等辺三角形ができます。

　二等辺三角形といえば、底角が等しいですよね。

　底角が等しいことを利用して、円周角の問題を解くことがあります。

④中心角や円周角の大きさは、弧の長さに比例

　弧の長さと中心角・円周角との関係は知っていますか？

　中心角や円周角の大きさは、弧の長さに比例します。

　例えば弧の長さが2倍になれば、中心角や円周角の大きさが2倍になります。

　また、弧ABの長さと弧BCの長さの比が2:3であれば、弧ABに対する中心角や円周角の大きさと弧BCに対するそれの比も2:3になります。

⑤三角形の内角と外角の関係

円周角のポイントなのに、三角形の話？

　円周角の問題でも、三角形の内角と外角の関係を用いることがあります。

　どうしても問題を解けない！　という時は、三角形の内角と外角の関係で解けることがありますよ。

　しかし、三角形の内角と外角の関係を使うかもしれないと意識していないと気づけないので、ここで確認しておきました。

【番外編】対頂角・錯角・同位角

　最後に、対頂角・錯角・同位角について確認しましょう。

　円周角に限らず、図形の問題であれば対頂角・錯角・同位角を用いることがあります。

　しかし三角形の内角と外角の関係と同様、対頂角・錯角・同位角を意識していないと気づけないので、基本だからと馬鹿にせず、しっかり確認しましょう。

まとめ～ポイントを駆使して円周角を求めよう

　都立高校入試では数学の大問1を全問正解することが重要です。

　しかし、大問1だからといって簡単に正解できるわけではありません。

　特に円周角の問題は、この記事で挙げたポイントを押さえていないと、そもそも解き方がわからないくなってしまいます。

　この記事を読んだあとは、教科書の節末問題や章末問題といった標準～応用問題に取り組みましょう。

　円周角を求める問いは、高校入試で頻出です。

　しかし円周角の定理を使いこなせずに、模試や過去問で正解できずに困っている人がいることでしょう。

　この記事では、円周角の問題を解くために必須な知識を3つにまとめて解説します。

　その後で問題演習を行い、知識の定着を図ります。

　また、都立高校入試でよく問われる知識も確認するので、ぜひそれも見てみてください。

円周角の定理のポイント3選+1

　まずは円周角を求める問いで、ポイントとなる知識を3つ解説します。

　その後で、都立高校入試でよく問われる知識も解説します。

①円周角は中心角の半分

　まずは基礎中の基礎『円周角の大きさは中心角の大きさ半分』です。

　例えば中心角が80°であれば、円周角は40°です。

②直径に対する円周角は90°

　円周角の大きさは中心角の大きさの半分であれば、中心角が180°の時の円周角、つまり直径に対する円周角は何°でしょうか？

円周角は中心角の半分なんだから、中心角が180°なら円周角は90°だね！

③同じ弧や同じ長さの弧に対する円周角は等しい

　これまでは円周角と中心角の関係を見てきました。

　ここからは円周角と弧の関係を見ていきましょう。

　同じ弧に対する円周角は等しくなります。

　また弧の長さが等しいなら、円周角も等しいです。

【都立高校入試】円周角の大きさは弧の長さに比例する

　ポイント③で、同じ弧、また弧の長さが等しいなら円周角の大きさも等しいとお話しました。

　では、弧の長さが2倍、3倍……と大きくなったら、円周角の大きさはどうなるでしょうか？

　そう、円周角の大きさも2倍、3倍……となります。

つまり、円周角の大きさは弧の長さに比例します

　この知識を用いて角度を求める問いが最近、都立高校入試の大問1で出題されています。(2024年11月現在)

　大問1は得点源になるので、都立高校入試を受験する人は必ず覚えておいてくださいね。

　もっと詳しく知りたい人は、以下の記事も読んでくださいね。

【問題演習】円周角の大きさを求める

　ここからは、今まで習ったポイントを用いて円周角を求める問題を行いましょう。

問題

次の角度xを求めなさい。

ただし、③において中心を通る直線はその円の直径である。

①円周上を移動させる

　初めて円周角の問題を解く人は、一瞬戸惑ってしまうかもしれませんね。

　しかしポイント③より同じ弧に対する円周角は等しいので、下図のように円周角を移動できます。

　よって円周角は中心角の半分なので、60÷2=30よりx=30°

②中心角が180°以上

四角形みたいなのがある！

こういうときはどうすればいいんだろう？

　このタイプの問いで戸惑ってしまう人がいるかと思いますが、解き方は変りません。

　この図形では中心角が240°なので、円周角はその半分でx=120°です。

③直径に対する円周角を利用

　直径に対する円周角に気づいたでしょうか。

　直径に対する円周角∠ACBが90°なので、∠ACB=90-65=25°ですね。

　さて、円周角の定理より∠ACB＝∠ABD=25°なので、x=25°

④補助線を引く

　この問いは、図をじーっと眺めているだけでは解けません！

　円周角の定理を使うために、補助線を引きましょう。

　EBに補助線を引くと、∠ADB＝∠AEB、∠BEC＝∠BFCであるとわかります。

　よってx=25+30=55°

まとめ

　今まで図形は得意だったという人でも、円周角の定理を使いこなすのに苦労することがあるでしょう。

　相似の証明でも円周角の定理が根拠になることがあります。

　相似の証明といえば、入試で頻出の問いですよね。

　志望校に合格するためにも、円周角の定理をきちんと使いこなせるようにしていきましょう。