【中3数学】平方根の近似値の求め方を解説～数学苦手な人は必見
中3数学『平方根の近似値』は、平方根の単元の中でも特に難しい内容ですよね。
なにより考え方が難しくて計算もめんどくさい！
この記事では平方根の近似値の求め方を丁寧に解説します。
平方根の近似値を求める問いは、考え方を一度しっかり理解してしまえば、あとは根気よく計算をするだけで正解できます。
数学が苦手な人こそ、この記事を読んで『平方根の近似値の求め方』をしっかり理解しましょう！
そもそも近似値とは？
そういえば近似値ってなんだ？
近似値とは『だいたいの値』のことです。
平方根は$\sqrt{4}$なら2、$\sqrt{9}$なら3と整数で表せます。
しかし$\sqrt{2}$や$\sqrt{3}$は整数では表せませんよね。2乗して2や3になる数は、無限に続く小数です。
そこで小数第何位かまでを求めて、『$\sqrt{2}$はだいたいこれくらい』とすることにします。この『だいたいこれくらい』という値が近似値なのです。
平方根の近似値の求め方
まず平方根の近似値の求める手順をお話ししたあと、例題を解きながら平方根の近似値の求め方を解説をします。
平方根の近似値を求める手順
平方根の近似値を求めるには、近似値を求めたい数がいくつといくつの間なのか？を考えます。
平方根は無限に続く小数で表されるので、まずは整数部分から求め、次に小数第一位、小数第二位・・・と、大きい位から順に求めていきます。
平方根の近似値の求め方を例題を用いて解説
平方根の近似値の求め方を、以下の例題を用いて解説します。
例題
$\sqrt{5}$の近似値を、小数第2位まで求めよ。
まずはざっくりと、整数でいくつといくつの間なのかを考えます。
とはいえ、整数とルートの数では比べられません。
そこで『$\sqrt{○}＜\sqrt{5}＜\sqrt{●}$』のようにルートの数で$\sqrt{5}$を挟みます。
$\sqrt{5}$を挟むルートの数は、整数で表せるものにします。
近似値の整数部分(1の位)を求める
$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$
$＝2＜\sqrt{5}＜3$
つまり、\sqrt{5}は整数部分(1の位)が『2』の数だとわかります。
$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{6}$
にしちゃダメなの？
$\sqrt{6}$だと整数で表せず、$\color{red}{整数＜\sqrt{5}＜整数}$のようにできないためダメです!
さて、ここまでで『$\sqrt{5}＝2.○○・・・$』であることがわかりました。
ここからは小数第一位を求めていきます。
$\sqrt{5}$を$\color{red}{2.○＜\sqrt{5}＜2.○}$で表せれば、小数第一位がわかります。
とはいえ小数とルートの数は比べられないので、小数をルートに入れて比べる必要があります。
どうやって小数をルートで表すの？
例えば3をルートを用いて表すときは、3を2乗して$\sqrt{9}$のように表しますよね。
整数を2乗してルートに入れるように、小数も同じように2乗してルートに入れられます。
そこで、$2.1～2.9$を2乗してルートの中に入れ、どの数とどの数で$\sqrt{5}$を不等号で挟めるかを確認します。
$2.1=\sqrt{(2.1)^2}=\sqrt{4.14}$
$2.2=\sqrt{(2.2)^2}=\sqrt{4.81}$
$2.3=\sqrt{(2.3)^2}=\sqrt{5.29}$
$\sqrt{5}$は$\sqrt{4.81}$と$\sqrt{5.29}$の間だね！
つまり、$\sqrt{5}$は以下のように表せます。
$\sqrt{4.81}＜\sqrt{5}＜\sqrt{5.29}$
$\color{red}{2.2＜\sqrt{5}＜2.3}$
よって、$\sqrt{5}$は小数第一位まで求められ、$2.2○○・・・$だとわかりました。
次は小数二位を求めるんだね！
小数第二位も、小数第一位の時と同じように求めることができます！
ここまでで『$\sqrt{5}＝2.2○・・・$』であることがわかりました。
ここからは小数第二位を求めていきます。
小数第二位を求めるために、$2.21～2.29$を2乗してルートの中に入れ、どの数とどの数で$\sqrt{5}$を不等号で挟めるかを確認します。
$2.21=\sqrt{(2.21)^2}=\sqrt{4.8841}$
$2.22=\sqrt{(2.22)^2}=\sqrt{4.9284}$
$2.23=\sqrt{(2.23)^2}=\sqrt{4.9729}$
$2.24=\sqrt{(2.24)^2}=\sqrt{5.0176}$
よって、$\sqrt{5}$は$\sqrt{4.9729}$と$\sqrt{5.0176}$の間なので、不等号を用いて以下のように表せます。
$\sqrt{4.9729}＜\sqrt{5}＜\sqrt{5.0176}$
$\color{red}{2.23＜\sqrt{5}＜2.4}$
$\sqrt{5}$は小数第二位まで求められ、$2.23○・・・$だとわかりました。
この例題では小数第二位まで求めよ、と言われているのでここで終わりです。
小数第三位以降も、同じように求められるね！
まとめ
平方根の近似値の求め方についてまとめます。
まとめ
- 近似値とは『だいたいの値』のこと
- 近似値を求めるためには、近似値を求めたい数がいくつといくつといくつの間なのかを調べる。
数学の応用問題がなかなか解けないという人でも、平方根の近似値を求める問いでは地道な計算さえできれば得点できます。
小数の2乗を面倒に感じるかもしれませんが、数学が苦手な人こそ、頑張ってマスターしましょう！
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