【高校数Ⅰ】平方根の整数部分・小数部分の求め方を解説！分数を含めた3パターン

　高校生になっても、数学では避けては通れない平方根。整数部分・小数部分を求める問いでは平方根と分数のミックスが出てきて、ちょっと嫌になっちゃいますよね。

　しかし、数Ⅰで出てくる整数部分・小数部分の問いは中学内容の延長です。この記事を読めばすぐにマスターできますよ。

　この記事では平方根の整数部分・小数部分を求める問いを、①$\sqrt{●}$、②$\sqrt{●}±□$、③$\frac{△}{\sqrt{●}±□}$の3パターンに分けて解説します。

　それぞれが同じ手順で問題を解けるため、①のパターンさえ解ければ全てのパターンで問題を解けるようになります。しかもそれは中学で習った内容です。

　この記事を読んで、平方根の整数部分・小数部分の問題をマスターしましょう！

【全パターン共通】平方根の整数部分と小数部分の求め方

　まずは平方根の整数部分・小数部分の求め方の、基本的な考え方を解説します。

平方根の整数部分・小数部分とは？

　平方根の整数部分・小数部分を正しくイメージしましょう。

　例えば$\sqrt{5}$なら、小数を用いて表すと$2.236・・・$のようになります。

　その名の通り、整数部分は一の位の『2』で、小数部分は小数点以降の数です。

平方根の整数部分と小数部分を求める時の考え方

　平方根の整数部分・小数部分を答える際は、整数部分から求めます。

　小数部分は無限に続くので、直接求められません。

　そこで、整数部分を先に求め、小数部分は元の数から整数部分を引いて求めます。

$\sqrt{●}$の整数部分・小数部分の求め方

　まずは整数部分を求めます。

　$\sqrt{●}$の整数部分を求める方法は、実は中学生の時に習っています。

　そう、$\sqrt{5}$を、ルートの数で不等号を用いて挟めばよいのです。

　忘れてる人は以下の記事を読んでください。

　$\sqrt{5}$はルートの数で、不等号を用いて以下のように挟めます。

　$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$

　つまり$2＜\sqrt{5}＜3$

　よって$\sqrt{5}$は2と3の間の数なので、$\sqrt{5}$の整数部分は2です。

　次に小数部分を求めます。

　小数部分は、(元の数)ー(整数部分)で求められます。

　つまり$\sqrt{5}$の小数部分は$\color{red}{\sqrt{5}－2}$です。

$\sqrt{●}±□$の整数部分・小数部分の求め方

まずは整数部分を求めるんだよね

　ここで聞かれているのは『$\sqrt{5}+3$』という式の整数部分・小数部分です。

　つまり、整数部分を答えるときはまず$\sqrt{5}$の整数部分を求め、それに$3$を足します。

　$\sqrt{5}$の整数部分の求め方は上でやったのでカットします。

　$\sqrt{5}$の整数部分は2なので、『$\sqrt{5}+3$』の整数部分は$\color{red}{2+3＝5}$です。

　整数部分が求められたら、次は小数部分を求めます。

小数部分は、(元の数)ー(整数部分)で求められるんだよね

　元の数『$\sqrt{5}+3$』の整数部分が5なので、小数部分は以下のように求めます。

　$(\sqrt{5}+3)-5$

　$＝\sqrt{5}-2$

　よって小数部分は$\color{red}{\sqrt{5}-2}$

$\frac{△}{\sqrt{●}±□}$の整数部分・小数部分の求め方

　最後に、ルートを含む分数の整数部分・小数部分の求め方を解説します。

　これまではまずは整数部分を求めるとお話ししましたが、このパターンでは整数部分を求める前に有理化をします。

　$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$を有理化すると以下のようになります。

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-1}$

$＝\displaystyle \frac{\color{red}\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\color{red}\sqrt{3}+1)}$

$＝\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-1^2}$

$＝\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{3-1}$

$＝\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

　分母を有理化してから整数部分・小数部分を求めます。

　ますは整数部分からです。

　$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$の整数部分を求めるには、$\sqrt{●}±□$の時のようにまずはルートの数の整数部分から求めます。そこに±□をします。この問いでは+1します。

　そして最後に、分母で割れば良いのです。この問いでは2で割ります。

　$\sqrt{3}$の整数部分は以下のように求めます。

　$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$

　つまり$1＜\sqrt{3}＜2$

　ここまで来たら、全ての辺に+1します。

　$1＜\sqrt{3}＜2$

　$1+1＜\sqrt{3}+1＜2+1$

　$2＜\sqrt{3}+1＜3$

　さらに、全ての辺を2で割ります。

　$2＜\sqrt{3}+1＜3$

　$\displaystyle\frac{2}{2}＜\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{2}＜\displaystyle\frac{3}{2}$

　$1＜\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{2}＜1.5$

　よって$\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{2}$は1と1.5の間の数なので、$\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{2}$の整数部分は1です。

　整数部分が求められたので、小数部分を求めるためには元の数から引けば良いのです。

　$\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{2}-1$

　$＝\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\displaystyle\frac{2}{2}$

　$＝\displaystyle\frac{(\sqrt{3}+1)-2}{2}$

　$=\displaystyle\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

　よって小数部分は$color{red}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$です。

まとめ

　平方根の整数部分・小数部分の求め方についてまとめます。

• まずは整数部分を求める
• 小数部分は、(元の数)ー(整数部分)で求める
• ルートを含む分数なら、整数部分・小数部分を求める前に有理化する

　分数が出てきて複雑に見えるかもしれませんが、解き方は中学でならった『平方根の近似値の求め方』の延長です。

　中学内容を忘れている人は復習し、数Ⅰの平方根の整数部分・小数部分の求め方をマスターしましょう。