【超簡単】比例式を含む連立方程式は今すぐ解ける！解き方を解説

　連立方程式の計算練習をしていると、比例式を含む連立方程式に出会うことがありますよね。

　見た目は連立方程式そのものですが、比例式があるときはどうすればいいんだろう？　と困惑してしまったことでしょう。

　そんなあなたのために、この記事では比例式を含む連立方程式の解き方を解説します。

　その後で問題演習も行い、比例式を含む連立方程式をマスターしましょう！

　比例式を含む連立方程式解き方の解説では、前提知識である比例式の解き方から解説するので、解き方が全くわからない！という人も安心して読んでくださいね。

　そもそも連立方程式の解き方がわからない！という人は先に以下の記事を読んでくださいね。

【解き方を一言で】比例式を二元一次方程式にする

　比例式を含む連立方程式は、こんな式ですよね。

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x:y=3:1 \\
3x-y=5
\end{array}
\right.
\]

連立方程式なのに比例の式がある！

どうやって解けばいいんだろう？

　比例式を含む連立方程式で解き方を迷ってしまうあなたでも、これなら解けますよね？

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=3y \\
3x-y=5
\end{array}
\right.
\]

これは普通の連立方程式だから余裕！

　比例式を含む連立方程式は、まず普通の連立方程式にすることがポイントです！

　そのためにまず、比例式を解いて二元一次方程式に変形します。

比例式を含む連立方程式の解き方

　比例式を含む連立方程式はまず、比例式を解いて普通の連立方程式に変形するとお話しました。

　ここからは具体的に、比例式を含む連立方程式の解き方を解説します。

【前提知識】比例式の解き方を覚えていますか？

　比例式を含む連立方程式を解くためには、比例式の解き方をマスターしていないといけません。

比例式ってどうやって解くんだっけ？

　比例式の解き方を忘れてしまった人は、基本的な比例式の解き方を確認しましょう。

　比例式の解き方で覚えてほしいのは、外×外、内×内です！

　この操作をしたら、比例式がただの方程式になるのです。

　x:3=9:25の外×外、内×内をすると以下のようになります。

　x:3=9:25

　25x=27

　$x=\frac{25}{27}$

比例式を外×外、内×内で解いたら一次方程式になったね！

比例式を二元一次方程式にする方法

　これまでで比例式の解き方を解説してきました。

　ここからは比例式を含む連立方程式を解くために、比例式を二元一次方程式にする方法を解説します。

　①について。

　文字が2つあっても基本は変わりません。

外×外、内×内をすればいいんだね

　$x:3=y:1$

　$\color{red}{x=3y}$

え！　これで終わり？

　これ以上計算できないから終わりです！

　②について。

　比例式なので、やっぱり外×外、内×内をします。

かっこがついてる時はどうすればいいの？

　かっこがついているときは、かっこごと外×外、内×内をするのです

　$\color{red}{(x+1)}:2=\color{red}{(y-3)}:1$

　$\color{red}{(x+1)}×1=\color{red}{(y-3)}×2$

　このように、かっこごとかけ算をします。

　以下、続きです。

　$\color{red}{(x+1)}×1=\color{red}{(y-3)}×2$

　$x+1=2y-6$

　ここで$x+1=2y-6$は二通りに変形できます。

　$\color{red}{x=2y-7}$　または　$\color{red}{x-2y=-7}$　です。

$x=2y-7$なら連立方程式を代入法で、

$x-2y=-7$なら加減法で解けるね！

【例題】比例式を含む連立方程式の解き方を解説

　ここまでで習った解き方を使って、比例式を含む連立方程式の問題をやってみましょう。

　①について。

　比例式『x:y=3:1』が含まれているので、これを二元一次方程式に変形しましょう。

　$x:y=3:1$

　$x=3y$

　つまり問題①の連立方程式は

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x:y=3:1 \\
x+2y=10
\end{array}
\right.
\]

⇔

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=3y \\
x+2y=10
\end{array}
\right.
\]

　なのです。

あとは普通の連立方程式だね！

　x=3yをx+2y=10に代入して解けますね。

　答え　x=6,y=2

　②について。

　比例式『x:y=3:1』が含まれているので、これを二元一次方程式に変形しましょう。

　$(x+1:2=(y-3):1$

　$(x+1)}×1=(y-3)}×2$

　$(x+1)×1=(y-3)×2$

　$x+1=2y-6$

　$x=2y-7$

　今回は代入法ができる形に変形しています。

$x+1=2y-6$を

$x-2y=-7$に変形したら加減法で解けるね

　つまり問題②の連立方程式は

\[
\left\{
\begin{array}{l}
(x+1):2=(y-3):1 \\
2x+3y=14
\end{array}
\right.
\]

⇔

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=2y-7
2x+3y=14 \\
\end{array}
\right.
\]

と変形できます。

　比例式を二元一次方程式に変形したら、あとは普通の連立方程式を解くだけです。

　答え　x=1,y=4

まとめ

　普通の連立方程式が解けるなら、比例式を含む連立方程式だって簡単に解けます。

　ちょっとの工夫だけで解けるようになるので、比例式を含む連立方程式を見て『嫌だなー』と思っていたあなたもぜひマスターしてくださいね。