【超簡単】比例式を含む連立方程式は今すぐ解ける!解き方を解説

,

【超簡単】比例式を含む連立方程式は今すぐ解ける!解き方を解説



【超簡単】比例式を含む連立方程式は今すぐ解ける!解き方を解説

 連立方程式の計算練習をしていると、比例式を含む連立方程式に出会うことがありますよね。

 見た目は連立方程式そのものですが、比例式があるときはどうすればいいんだろう? と困惑してしまったことでしょう。

 そんなあなたのために、この記事では比例式を含む連立方程式の解き方を解説します。

 その後で問題演習も行い、比例式を含む連立方程式をマスターしましょう!

 比例式を含む連立方程式解き方の解説では、前提知識である比例式の解き方から解説するので、解き方が全くわからない!という人も安心して読んでくださいね。

 そもそも連立方程式の解き方がわからない!という人は先に以下の記事を読んでくださいね。



 比例式を含む連立方程式は、こんな式ですよね。

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x:y=3:1 \\
3x-y=5
\end{array}
\right.
\]

連立方程式なのに比例の式がある!

どうやって解けばいいんだろう?

 比例式を含む連立方程式で解き方を迷ってしまうあなたでも、これなら解けますよね?

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=3y \\
3x-y=5
\end{array}
\right.
\]

これは普通の連立方程式だから余裕!

 比例式を含む連立方程式は、まず普通の連立方程式にすることがポイントです!

 そのためにまず、比例式を解いて二元一次方程式に変形します。



 比例式を含む連立方程式はまず、比例式を解いて普通の連立方程式に変形するとお話しました。

 ここからは具体的に、比例式を含む連立方程式の解き方を解説します。

【前提知識】比例式の解き方を覚えていますか?

 比例式を含む連立方程式を解くためには、比例式の解き方をマスターしていないといけません。

比例式ってどうやって解くんだっけ?

 比例式の解き方を忘れてしまった人は、基本的な比例式の解き方を確認しましょう。

例題

次の比例式を解きなさい。

x:3=9:25

 比例式の解き方で覚えてほしいのは、外×外、内×内です!

 この操作をしたら、比例式がただの方程式になるのです。

比例式の解き方… 外×外、内×内 をする!  a:b=c:d
a×d=b×c

 x:3=9:25の外×外内×内をすると以下のようになります。

 x:3=9:25

 25x=27

 $x=\frac{25}{27}$

比例式を外×外、内×内で解いたら一次方程式になったね!

比例式を二元一次方程式にする方法

 これまでで比例式の解き方を解説してきました。

 ここからは比例式を含む連立方程式を解くために、比例式を二元一次方程式にする方法を解説します。

例題

次の比例式を二元一次方程式にしましょう。

  • $x:3=y:1$
  • $(x+1):2=(y-3):1$

 ①について。

 文字が2つあっても基本は変わりません。

外×外、内×内をすればいいんだね

 $x:3=y:1$

 $\color{red}{x=3y}$

え! これで終わり?

 これ以上計算できないから終わりです!


 ②について。

 比例式なので、やっぱり外×外、内×内をします。

かっこがついてる時はどうすればいいの?

 かっこがついているときは、かっこごと外×外、内×内をするのです

 $\color{red}{(x+1)}:2=\color{red}{(y-3)}:1$

 $\color{red}{(x+1)}×1=\color{red}{(y-3)}×2$

 このように、かっこごとかけ算をします。

 以下、続きです。

 $\color{red}{(x+1)}×1=\color{red}{(y-3)}×2$

 $x+1=2y-6$

 ここで$x+1=2y-6$は二通りに変形できます。

 $\color{red}{x=2y-7}$ または $\color{red}{x-2y=-7}$ です。

$x=2y-7$なら連立方程式を代入法で

$x-2y=-7$なら加減法で解けるね!



 ここまでで習った解き方を使って、比例式を含む連立方程式の問題をやってみましょう。

問題

次の連立方程式を解きましょう。

  • \[
    \left\{
    \begin{array}{l}
    x:y=3:1 \\
    x+2y=10
    \end{array}
    \right.
    \]
  • \[
    \left\{
    \begin{array}{l}
    (x+1):2=(y-3):1 \\
    2x+3y=14
    \end{array}
    \right.
    \]

 ①について。

 比例式『x:y=3:1』が含まれているので、これを二元一次方程式に変形しましょう。

 $x:y=3:1$

 $x=3y$

 つまり問題①の連立方程式は

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x:y=3:1 \\
x+2y=10
\end{array}
\right.
\]

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=3y \\
x+2y=10
\end{array}
\right.
\]

 なのです。

あとは普通の連立方程式だね!

 x=3yをx+2y=10に代入して解けますね。

 答え x=6,y=2


 ②について。

 比例式『x:y=3:1』が含まれているので、これを二元一次方程式に変形しましょう。

 $(x+1:2=(y-3):1$

 $(x+1)}×1=(y-3)}×2$

 $(x+1)×1=(y-3)×2$

 $x+1=2y-6$

 $x=2y-7$

 今回は代入法ができる形に変形しています。

$x+1=2y-6$を

$x-2y=-7$に変形したら加減法で解けるね

 つまり問題②の連立方程式は

\[
\left\{
\begin{array}{l}
(x+1):2=(y-3):1 \\
2x+3y=14
\end{array}
\right.
\]

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=2y-7
2x+3y=14 \\
\end{array}
\right.
\]

と変形できます。

 比例式を二元一次方程式に変形したら、あとは普通の連立方程式を解くだけです。

 答え x=1,y=4

まとめ

比例式を含む連立方程式は、普通の連立方程式に変形してから解く。

そのためにはまず、比例式を解いて二元一次方程式にする。

 普通の連立方程式が解けるなら、比例式を含む連立方程式だって簡単に解けます。

 ちょっとの工夫だけで解けるようになるので、比例式を含む連立方程式を見て『嫌だなー』と思っていたあなたもぜひマスターしてくださいね。


コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)

PAGE TOP