【超簡単】比例式を含む連立方程式は今すぐ解ける!解き方を解説
連立方程式の計算練習をしていると、比例式を含む連立方程式に出会うことがありますよね。
見た目は連立方程式そのものですが、比例式があるときはどうすればいいんだろう? と困惑してしまったことでしょう。
そんなあなたのために、この記事では比例式を含む連立方程式の解き方を解説します。
その後で問題演習も行い、比例式を含む連立方程式をマスターしましょう!
比例式を含む連立方程式解き方の解説では、前提知識である比例式の解き方から解説するので、解き方が全くわからない!という人も安心して読んでくださいね。
そもそも連立方程式の解き方がわからない!という人は先に以下の記事を読んでくださいね。
【解き方を一言で】比例式を二元一次方程式にする
比例式を含む連立方程式は、こんな式ですよね。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x:y=3:1 \\
3x-y=5
\end{array}
\right.
\]
連立方程式なのに比例の式がある!
どうやって解けばいいんだろう?
比例式を含む連立方程式で解き方を迷ってしまうあなたでも、これなら解けますよね?
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=3y \\
3x-y=5
\end{array}
\right.
\]
これは普通の連立方程式だから余裕!
比例式を含む連立方程式は、まず普通の連立方程式にすることがポイントです!
そのためにまず、比例式を解いて二元一次方程式に変形します。
比例式を含む連立方程式の解き方
比例式を含む連立方程式はまず、比例式を解いて普通の連立方程式に変形するとお話しました。
ここからは具体的に、比例式を含む連立方程式の解き方を解説します。
【前提知識】比例式の解き方を覚えていますか?
比例式を含む連立方程式を解くためには、比例式の解き方をマスターしていないといけません。
比例式ってどうやって解くんだっけ?
比例式の解き方を忘れてしまった人は、基本的な比例式の解き方を確認しましょう。
例題
次の比例式を解きなさい。
x:3=9:25
比例式の解き方で覚えてほしいのは、外×外、内×内です!
この操作をしたら、比例式がただの方程式になるのです。
x:3=9:25の外×外、内×内をすると以下のようになります。
x:3=9:25
25x=27
$x=\frac{25}{27}$
比例式を外×外、内×内で解いたら一次方程式になったね!
比例式を二元一次方程式にする方法
これまでで比例式の解き方を解説してきました。
ここからは比例式を含む連立方程式を解くために、比例式を二元一次方程式にする方法を解説します。
例題
次の比例式を二元一次方程式にしましょう。
- $x:3=y:1$
- $(x+1):2=(y-3):1$
①について。
文字が2つあっても基本は変わりません。
外×外、内×内をすればいいんだね
$x:3=y:1$
$\color{red}{x=3y}$
え! これで終わり?
これ以上計算できないから終わりです!
②について。
比例式なので、やっぱり外×外、内×内をします。
かっこがついてる時はどうすればいいの?
かっこがついているときは、かっこごと外×外、内×内をするのです
$\color{red}{(x+1)}:2=\color{red}{(y-3)}:1$
$\color{red}{(x+1)}×1=\color{red}{(y-3)}×2$
このように、かっこごとかけ算をします。
以下、続きです。
$\color{red}{(x+1)}×1=\color{red}{(y-3)}×2$
$x+1=2y-6$
ここで$x+1=2y-6$は二通りに変形できます。
$\color{red}{x=2y-7}$ または $\color{red}{x-2y=-7}$ です。
$x=2y-7$なら連立方程式を代入法で、
$x-2y=-7$なら加減法で解けるね!
【例題】比例式を含む連立方程式の解き方を解説
ここまでで習った解き方を使って、比例式を含む連立方程式の問題をやってみましょう。
問題
次の連立方程式を解きましょう。
- \[
\left\{
\begin{array}{l}
x:y=3:1 \\
x+2y=10
\end{array}
\right.
\] - \[
\left\{
\begin{array}{l}
(x+1):2=(y-3):1 \\
2x+3y=14
\end{array}
\right.
\]
①について。
比例式『x:y=3:1』が含まれているので、これを二元一次方程式に変形しましょう。
$x:y=3:1$
$x=3y$
つまり問題①の連立方程式は
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x:y=3:1 \\
x+2y=10
\end{array}
\right.
\]
⇔
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=3y \\
x+2y=10
\end{array}
\right.
\]
なのです。
あとは普通の連立方程式だね!
x=3yをx+2y=10に代入して解けますね。
答え x=6,y=2
②について。
比例式『x:y=3:1』が含まれているので、これを二元一次方程式に変形しましょう。
$(x+1:2=(y-3):1$
$(x+1)}×1=(y-3)}×2$
$(x+1)×1=(y-3)×2$
$x+1=2y-6$
$x=2y-7$
今回は代入法ができる形に変形しています。
$x+1=2y-6$を
$x-2y=-7$に変形したら加減法で解けるね
つまり問題②の連立方程式は
\[
\left\{
\begin{array}{l}
(x+1):2=(y-3):1 \\
2x+3y=14
\end{array}
\right.
\]
⇔
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=2y-7
2x+3y=14 \\
\end{array}
\right.
\]
と変形できます。
比例式を二元一次方程式に変形したら、あとは普通の連立方程式を解くだけです。
答え x=1,y=4
まとめ
普通の連立方程式が解けるなら、比例式を含む連立方程式だって簡単に解けます。
ちょっとの工夫だけで解けるようになるので、比例式を含む連立方程式を見て『嫌だなー』と思っていたあなたもぜひマスターしてくださいね。
コメントを残す