【平方根】ルートの数が自然数になる最小のnを求める方法を丁寧に解説

　平方根の応用問題で、ルートの数が自然数になる最小のnを求める方法を習ったとき、こう思ったのではないでしょうか？

自然数？

最小のn?

難しそう！！

　最初から諦めそうになったあなたでも大丈夫！

　この記事ではルートの数が自然数になる最小のnを求める方法を理解するため、必要な前提知識3つから解説します。

　次にルートの数が自然数になる最小のnを求めるポイントを2つ解説します。

　その後でルートの数が自然数になる最小のnを求める方法を2パターン解説するので、この記事を初めから読めば無理なく理解できますよ！

まずはこれ！最小のnを求めるための前提知識

　まずは、ルートの数が自然数になる最小のnを求める方法を理解するために必要な前提知識を解説します。

• 自然数とは正の整数である
• $\sqrt{a^2}=a$である
• 素因数分解のやり方

　これくらいわかってるよ！　というあなたは読み飛ばしOKです。

①自然数とは

　そもそも自然数という用語からつまづいている人は、ここで必ず覚えましょう。

　つまり、1,2,3,4……が自然数です。

　自然数には0が含まれないこともポイントです！

②$\sqrt{a^2}=a$

　まずは基本中の基本！

　$\sqrt{a^2}=a$であることを確認します。

　$\sqrt{49}=7$と答えたあなた！　正解です！

　でも、なぜ7になるのかちゃんと説明できますか？

　ルートの中身が何かの2乗の数であれば、ルートを外して自然数で表せる。

　つまり、$\color{red}{\sqrt{49}=\sqrt{7^2}=7}$のような道筋を通っていることを、しっかりと押さえておきましょう。

③素因数分解

　ルートの数が自然数になる最小のnを求める問いでは、素因数分解の習得が必須です。

　素因数分解とは、ある数を素数の積で表すこと。

　素数とは、1とその数しか約数を持たない数で、例えば2,3,5,7などが当てはまります。

　もっと詳しく素因数分解のやり方を知りたい！　というあなたは以下の記事を読んでくださいね。

ルートの数が自然数になる最小のnを求めるポイント

　ここからは平方根が自然数になる最小のnを求める方法を理解するため、ポイントを2つ紹介します。

• ルートの中身が$○^2$になればOK
• ルートの中身を$○^2$にする数がnになる

　以下で詳しく解説します。

①ルートの中身が$○^2$になればOK

　ルートの数が自然数になるとき、ルートの中身は$○^2$となります。

　例えば$\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$のように、ルートの中身が$○^2$になれば、ルートの数を自然数で表せますよね。

②ルートの中身を$○^2$にする最小の数がnになる

　ルートの数が自然数になるには、ルートの中身が$○^2$となれば良いのでした。

　つまり、ルートの数が自然数になる最小のnとは、ルートの中身を$○^2$にする最小の数のことなのです。

【例題で解説】ルートの数が自然数になる最小のnを求めてみよう

　ここからはいよいよ、ルートの数が自然数になる最小のnを求める方法を例題で解説します。

　ルートの数が自然数になる最小のnを求めるには、まず素因数分解！

　その後で、ルートの中身が$○^2$になる最小のnを考えましょう。

①$\sqrt{252n}$

　まずは252を素因数分解してみましょう。

　$252=2^2×3^2×7$

　つまり$\sqrt{252n}=\sqrt{2^2×3^2×7×n}$です。

　これが自然数になるには、ルートの中が$○^2$になればいいのでした。

　ルートの中が$○^2$になるには、素因数分解してでてきた素数が、全部2乗になればいいのです！

　$\sqrt{252n}=\sqrt{2^2×3^2×7×n}$なら7だけ2乗じゃないから、n=7とすればOKです。

　よって答えはn=7

②$\sqrt{\frac{675}{n}}$

　まずは675を素因数分解します。

　$675=3^3×5^2$

　つまり$\sqrt{\frac{675}{n}}=\sqrt{\frac{3^3×5^2}{n}}$

　さて、ルートの中が$○^2$になるには、素因数分解してでてきた素数が、全部2乗になればいいのでした。

　そしてこの問いでは、nは分母にあります。

　つまりルートの中の数を全部2乗にするため、$3^3×5^2$を割る数をnにすればいいのです。

　分子の$3^3×5^2$は3が1個多いので、n=3として分子を3で割ればOKです！

　$\sqrt{\frac{675}{n}}=\sqrt{\frac{3^3×5^2}{3}}=\sqrt{3^2×5^2}$となりますね。

　よって答えはn=3

まとめ

　難しそう！　って思っていたかもしれないけど、ポイントがわかればできそうな気がしませんか？

　少しでもテストで点数が取れるよう、このような応用問題もできるようにしていきましょう！