【中3数学】２乗に変形する二次方程式の解き方『たった１つのポイント』を解説【平方完成】

　二次方程式の計算問題の中で、解き方が難しいのは『２乗$(x±□)^2$に変形する解き方』です。

　$x^2+6x+2=0$

　$(x+3)^2-7=0$

　二次方程式を解く問いで、このように２乗の形に変形するものがあります。

　学校の授業を聞いたり、教科書を読んだりしても何をしているのかわからないという人はあなただけではありません。

　この記事では$x^2+ax=(x+b)^2-ｂ^2$のように、二次方程式を２乗に変形して解くやり方を解説します。

　複雑に見える解法ですが、たった１つのポイントを押さえるだけですっきりと考えられるようになります。

　中学校で習う変形のしかたを解説した後、高校で習う『平方完成』のやり方を解説します。平方完成でも同じように２乗に変形する二次方程式が解けます。

　平方完成なら中学で習うやり方よりもシンプルなので、やり方さえ覚えてしまえば手が勝手に動いて２乗の形を作れるようになります！

　中学校で習う変形が面倒くさい、難しいと考える人には特に平方完成がオススメです！

２乗に変形する二次方程式について解説

　中学校で習う『２乗に変形する二次方程式の解き方』を解説します。

　まずたった１つのポイントと前提知識を解説した後、解法を解説します。

２乗に変形するたった１つのポイント

　２乗に変形するときのたった１つのポイントは以下です。

　与えられた式を$(x±□)^2$して二次方程式を解くことが目的なので、どうしたら因数分解できるか？を考えなくてはいけません。

　例えば$x^2+6x+2=0$は$(x±□)^2$の形に因数分解できませんよね。

　では、どうすれば$(x±□)^2$の形に因数分解できるでしょうか。

$x^2+6x\color{red}{+2}=0$じゃなくて、

$x^2+6x\color{red}{+9}=0$なら因数分解できるね。

　つまり与えられた式$x^2+6x+2=0$に７を足せば因数分解できます。

　７を足したということは、同時に７を引かなくてはいけませんね。(詳しくは後で解説します)

　因数分解できる式にするために何の数を足すかがわかれば、この問いは解けたも同然です。

必要な前提知識

　２乗に変形する二次方程式を解くために、できていなくてはならない数学の問いは以下です。

　これらは中３の内容ですが覚えているでしょうか？

　特に因数分解は、テストが終わった途端に忘れてしまった人はいませんか？

　もしも忘れてしまったなら、まずはこれらを復習しましょう。

２乗に変形する二次方程式の解き方

　ここからは２乗に変形する二次方程式の解き方を解説します。

　左辺を因数分解して$(x+a)^2$の形にできれば、二次方程式を解くことができます。

　しかし、左辺はこのままでは因数分解できないですよね。

　もし$x^2+6x+2=0$が、$x^2+6x+9=0$だったら因数分解できます。

　では、どうするか。

　左辺を$x^2+6x+9=0$にするため、左辺に『7』を足しましょう。

じゃあ計算式は、

$x^2+6x+2=0$

×$x^2+6x+2\color{red}{+7}=0$

×$x^2+6x\color{red}{+9}=0$

でいいの？

　『7』を足しただけだと方程式が成り立たないので、同時に『-7』をします！

　$x^2+6x+9-7=0$まで変形できたら、因数分解して２乗に変形します。

　$x^2+6x+9-7=0$

　$(x+3)^2-7=0$

　$(x+3)^2=7$

　ここまで来たら、あとは二次方程式を解くだけです。

　以下、解答をまとめます。

【発展】簡単に２乗に変形する方法『平方完成』

　ここまでは中学校で習う方法で、２乗に変形する二次方程式の解き方を解説しました。

　しかしこの解き方は、2乗の形に因数分解するために何を足せば良いかを考えなくてはいけません。

　それが難しい、または面倒だと思う人向けに、高校で習う解き方『平方完成』を解説します。

　平方完成なら２乗の形に因数分解するために何を足せば良いかを考える必要がなく、機械的に２乗の形を作れます。

　平方完成のやり方を図で見てみましょう。

　先ほどの例題$x^2+6x+2=0$を平方完成で２乗の形にしてみましょう。

　上の図の『b』は『x』の係数なので、この例題では『b=6』です。

　つまり、『bの半分』とは『３』のことですね。

　$\color{red}{x^2+6x}+2=0$

　$\color{red}{(x+3)^2-3^2}+2=0$

　$\color{red}{(x+3)^2-9}+2=0$

　$(x+3)^2-7=0$

　ここまでで平方完成は終わりです。

　あとは『７』を移項すれば二次方程式が解けます。

　このように、『x』の係数を半分にすることを覚えれば、簡単に２乗の形を作れます。

まとめ

　２乗に変形する二次方程式の解き方についてまとめます。

　二次方程式の計算の中では解き方が複雑に見えるので、苦手だと思ってしまう人がいることでしょう。

　しかしポイントを押さえれば決して難しい問題ではないので、問題演習の中で解き方に慣れておきましょう。