【数学A】順列と組合わせの違いをわかりやすく解説～並び順に意味はあるか、ないか
数学Aの『場合の数』『確率』において、誰もがぶつかる壁。
そう、順列と組合わせの違いです。
PとCの使い分け方がわからない
てかなんで公式が2個もあるの！？
順列と組合わせの違いがわからないというあなたはズバリ、順列と組合わせの意味がわかっていないのです。
この記事ではまず、順列と組合わせの違いをざっくりと説明し、全体像をつかんでもらいます。
その後で順列と組合わせの計算が、どのような場合の数を数えているのかを詳しく解説します。その解説で、同じ人数の中から同じ人数だけ選ぶ時、順列の方が場合の数が多くなる理由がわかります。
最後に順列と組合わせの問題演習を行い、順列と組合わせの見分け方が身についたかを確認します、
【ざっくり解説】順列は並び順に意味がある・組合わせは意味がない
順列と組合わせの違いはズバリ、『並び順に意味があるか、ないか』です。
順列はその名の通り並び順に意味があり、組合わせには並び順に意味はありません。
順列と組合わせの違いを知ったところで、順列と組合わせの計算をしてみましょう。
公式は以下でしたね。
同じ人数の中から同じ人数だけ選ぶとき、順列の方が場合の数が多くなり、組合わせの方が場合の数が少なくなることを確認しましょう。
順列の計算
7人の中から3人選んで並べるとき
${}_7 \mathrm{ P }_3＝7･6･5＝210$
$\therefore210通り$←多い
組合わせの計算
7人の中から3人選ぶだけのとき
${}_7 \mathrm{ C }_3＝\frac{7･6･5}{3!}＝35$
$\therefore35通り$←少ない
これぐらいなら余裕！
なぜ順列の方が場合の数が多くなり、組合わせの方が場合の数が少なくなるのか。
そう、順列は並び順に意味があり、組合わせは並び順に意味がないからです。
どうして並び順に意味がある方が場合の数が多くて、
並び順に意味がない方が場合の数が少なくなるの？
並び順に意味があれば、7人の中から3人を選んだとき、同じ3人を選んだとしても並び順が違えばそれぞれの場合を数えるからです。
並び順に意味がないなら、7人の中から3人を選んだら、それは1つの場合にしかなりません。
詳しくは次の例題を解きながら解説します。
順列と組合わせの違いを例題を解きながら理解しよう
ここからは例題を解きながら、順列と組合わせの違いを詳しく見ていきましょう。
特に、順列と組合わせがそれぞれ何を数えているのかが詳しくわかります。
まずは順列について、順列は『並び順の数だけ数えている』ことを確認します。
その後で組合わせについて、組合わせは『選び方だけを数えている』ことを解説します。
【順列の意味】並び順の数だけ数える
例題1
Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんの5人の中から、委員長、副委員長、書記を一人ずつ選ぶとき、全部で何通りの選び方があるか？
『選び方』って言われてるから、組合わせじゃないの？
5人の中から3人を選び、3人を委員長、副委員長、書記に振り分けるので、順列と考えます。(並び順の意味)
式は以下のようになります。
例題1の解答
5人の中から3人選んで並べる(それぞれの役職に割り振る)から
${}_5 \mathrm{ P }_3＝5×4×3＝60$
$\therefore$60通り
5人の中から委員長、副委員長、書記をこの順番で選ぶとすると、
委員長の選び方は5通り、
委員長になった1人を除いて副委員長は4通り、
委員長、副委員長になった2人を除いて書記は3通りだね！
単に公式${}_n \mathrm{ P }_r$に当てはめるのではなく、意味を考えてみましょう。
委員長、副委員長、書記を、5人の中からこの順番で選ぶと考えます。
つまり、5人の中から3人、Aさん、Bさん、Cさんを選んだ場合だけでも以下のパターンがあるとイメージしてください。
他にも、Bさん、Cさん、Dさんの3人や、Cさん、Dさん、Eさんの3人、Dさん、Eさん、Aさん……のように、3人の選び方それぞれに上記のような並べ方があります。
Aさん、Bさん、Cさんを、委員長、副委員長、書記という順番に並べるので、その並び方は3!通りあると押さえましょう。
順列の公式${}_n \mathrm{ P }_r$とは、このような並び順も全て数える計算をするのです。
【組合わせの意味】選び方だけを数える
例題2
Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんの5人の中から3人の代表者を選ぶとき、選び方は全部で何通りあるか？
例題1との違いを見てみましょう。例題1では、3人を名前の付いた役職に振り分けました。
例題2では代表者を3人選ぶだけだね
選ぶだけってどういうこと？
例題1(順列)は、選んだ上で並べています。
委員長、副委員長、書記を選ぶ時は、Aさん、Bさん、Cさんを選んだ場合では以下のような違いがありました。
対して、例題2(組合わせ)ではどうでしょう？
代表者としてAとBとCを選んだなら、その1通りの組み合わせしかないのです。
『代表者AとBとC』と
『代表者BとAとC』は同じだよね
もし組合わせの問題で順列の公式${}_n \mathrm{ P }_r$を用いて計算したら、『代表者AとBとC』『代表者BとAとC』……のような組合わせまで数えてしまいます。
よって、組合わせの問題を解くにはこのようなダブりを無くさなければならないのです。
これこそが組合わせの公式${}_n \mathrm{ C }_r$の意味なのです。
例題2の解答
5人の中から3人の代表者を選ぶから
${}_5 \mathrm{ C }_3＝\frac{5･4･3}{3!}＝10$
$\therefore10通り$
【問題演習】順列と組合わせを見分ける
ここからは順列と組合わせの問題を行ってみましょう。
単に公式に当てはめ計算するだけでなく、その問いが順列なのか組合わせなのかを考えてから問題を解きましょう。
問題
- 1～10の数字の中から3つの数字を選んで3桁の暗証番号を作るとき、作れる暗証番号は何通りあるか？
- 7人の中から4人選んで車に乗せるとき、何通りの乗り方があるか？
ただし、席順は考えない。
①について。
この問いは順列の問題です。
暗証番号を作ることは、3つの数字の並び順を決めることと同じだからです。
例えば同じ3つの数字を選んだとしても、
暗証番号の『123』と『213』は違うもんね！
よって答えは以下です。
${}_10 \mathrm{ P }_3＝10×9×7＝630$
$\therefore$630通り
②について。
この問いは組合わせの問題です。
この場合は車に乗せる人を決めるだけなので、席順がしていされないなら組合わせの問題として扱います。
『Aさん、Bさん、Cさん、Dさん』を車に乗せるって言うのと、
『Bさん、Cさん、Dさん、Aさん』を車に乗せるって言うのは同じだもんね！
よって答えは以下です。
${}_7\mathrm{ C }_4＝\frac{7･6･5･4}{4!}＝35$
$\therefore35通り$
まとめ～何が問われているのかを考える
順列と組合わせの違いは、並び順に意味があるか、ないかです。
並び順は整列するだけでなく、色の付いた箱に入れるとか、名前の付いた役職に割り振ることなどとも言います。
順列と組合わせの違いを見分けるのは初めは大変かもしれません。
しかし、問題を解くたびに自分で『なぜ順列、または組合わせなのか？』を考えれば必ず得意になります。
自分の頭で筋道立てて考えることが大切です。
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