順列と組合わせの違いは、並び順に意味はあるか、ないか

 数学Aにおいて初めにぶつかる壁。

 そう、順列と組合わせの違いです。

授業を聞いても、教科書を調べても違いがわからない

PとCの使い分け方がわからない

てかなんで公式が2個もあるの!?

 順列と組合わせの違いがわからないというひとはズバリ、順列と組合わせの意味がわかっていないのです。

 逆に、順列と組合わせのそれぞれの意味がわかっていれば、そのようなことで悩むことはないのです。

 この記事を読めば順列と組合わせの意味がわかり、それぞれの違いを理解できます。

 問題によってどの公式を使えばいいかもわかりますよ!

この記事の流れ

  • 順列と組合わせの違いをざっくり理解
  • 例題を用いて順列と組合わせの違いをしっかり理解

 順列と組合わせの違いはズバリ、『並び順に意味があるか、ないか』です。

 順列はその名の通り並び順に意味があり、組合わせには並び順に意味はありません。

 順列と組合わせの公式を確認しましょう。

順列と組合わせの公式

順列:${}_n \mathrm{ P }_r$

組合わせ:${}_n \mathrm{ C }_r$

 具体的に計算してみると次のようになります。

順列の計算

7人の中から3人選んで並べるとき

${}_7 \mathrm{ P }_3=7・6・5=210$

$\therefore210通り$

組合わせの計算

7人の中から3人選ぶだけのとき

${}_7 \mathrm{ C }_3=\frac{7・6・5}{3!}=35$

$\therefore35通り$

これぐらいなら余裕!

 ここで注目してほしいのは、同じ数の中から同じ数を選ぶとき(上の例題では両方7人から3人)、組合わせの方が場合の数が少なくなることです。

 なぜ組合わせの方が場合の数が少なくなるのか。

 そう、組合わせは並び順に意味がないからです。

 詳しくは次の例題を解きながら解説します。

補足~『並び順』の意味

並び順というと、上の例題のように『整列』させることをイメージするかと思います。

しかし、ここで言う『並び順』とは整列だけではありません。

  • 名前の付いた役職を割りふる
  • 色の付いた箱に入れる
  • 野球の打順を決める

などなど。

これらを全て『並べる』と考えます。

順列と組合わせの違いを例題を解きながら理解しよう

 順列と組合わせの違いを一言で言うと?

「並び順に意味があるか、ないか」だね!

 並び順に意味がある方が順列で、ない方が組合わせでした。

 このことを踏まえて、以下の問題を考えてみよう。

順列~並び順に意味がある

例題1

Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんの5人の中から、委員長、副委員長、書記を一人ずつ選ぶとき、全部で何通りの選び方があるか?

『選び方』って言われてるから、組合わせじゃないの?

 5人の中から3人を選び、3人を委員長、副委員長、書記に振り分けるので、順列と考えます。(並び順の意味)

式は以下のようになります。

例題1の解答

5人の中から3人選んで並べる(それぞれの役職に割り振る)から

${}_5 \mathrm{ P }_3=5×4×3=60$

$\therefore$60通り

 単に公式${}_n \mathrm{ P }_r$に当てはめるのではなく、意味を考えてみましょう。

 委員長、副委員長、書記を、5人の中からこの順番で選ぶと考えます。

委員長は5通り、

副委員長は委員長になった1人を除いて4通り、

書記は委員長、副委員長になった2人を除いて3通りだね!

 このことから${}_5 \mathrm{ P }_3=5×4×3=60通り$となるのです。

組合わせ~並び順に意味がない

例題2

Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんの5人の中から3人の代表者を選ぶとき、選び方は全部で何通りあるか?

 例題1との違いを見てみましょう。

 例題1では名前の付いた役職に振り分けました。

例題2では代表者を3人選ぶだけだね

 例題1で委員長、副委員長、書記を選ぶ時は、以下のような違いがありました。

【順列】5人の中からA、B、Cを選んだとき

  • $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A:委員長 \\ B:副委員長\\ C:書記 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
  • $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A:委員長 \\ B:書記\\ C:副委員長 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
  • $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A:副委員長 \\ B:委員長\\ C:書記 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
  • $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A:副委員長 \\ B:書記\\ C:委員長 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
  • $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A:書記 \\ B:委員長\\ C:副委員長 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
  • $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A:書記 \\ B:副委員長\\ C:委員長 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

 このように、A、B、Cというひとつの選び方につき6通りの並び順があるわけです。

3つものを並べる場合の数、つまり$3!=6通り$だね!

 対して、例題2ではどうでしょう?

 例題2では代表者を3人選ぶだけなので、その並び順に意味はありません。

 代表者としてAとBとCを選んだなら、その1通りの組み合わせしかないのです。

『代表者AとBとC』と

『代表者BとAとC』は同じだよね

 つまり、組合わせは次のように考えることができます。

組合わせの考え方

  • 5人の中から3人を選び、並べる場合を考える
    ⇒$5×4×3$
  • それぞれの並べ方につき$3!$通りのダブりがあるから、①を$3!$で割る
    ⇒$\frac{ 5×4×3}{ 3! }$

 もうお気づきですよね。

 これこそが組合わせの公式${}_n \mathrm{ C }_r$の意味なのです。

例題2の解答

5人の中から3人の代表者を選ぶから

${}_5 \mathrm{ C }_3=\frac{5・4・3}{3!}=10$

$\therefore10通り$

まとめ~何が問われているのかを考える

 順列と組合わせの違いは、並び順に意味があるか、ないかです。

 並び順は整列するだけでなく、色の付いた箱に入れるとか、名前の付いた役職に割り振ることなどとも言います。

 順列と組合わせの違いを見分けるのは初めは大変かもしれません。

 しかし、問題を解くたびに自分で『なぜ順列、または組合わせなのか?』を考えれば必ず得意になります。

 自分の頭で筋道立てて考えることが大切です。