【中3必見】平方根の展開のやり方を展開公式から解説【高校入試に出る】

　平方根の展開は、ルートの記号が使われている分、見た目がゴチャゴチャするので難しく感じますよね。

　でも平方根の展開は、中3の始めに習った展開公式を使えば意外と簡単に計算できるんです。

平方根の計算は苦手だよ～

　平方根の計算が苦手なあなたにこと、この記事を読んで欲しいです。

　平方根の展開は高校入試でよく出ます。高校入試では計算問題を確実に正解することが重要なので、平方根の展開をマスターするのは必須です。

　この記事では平方根の展開を、展開公式から確認してわかりやすく解説しています。

　数学が苦手でも大丈夫です。一緒に基礎からしっかり学んで、平方根の展開を得点源にしましょう！

【復習】展開公式を覚えていますか？

　平方根の展開は、中3の始めに習った展開公式を覚えていれば簡単にできます。

　逆に言うと、平方根の展開は展開公式を覚えていないと解けないのです。

　あなたは展開公式を全て覚えていますか？

　展開公式を覚えていない、または展開公式を覚えていても問題が解けないという人は、展開の復習から始めることをおすすめします。

平方根の展開のやり方4パターン

　平方根の展開では、かっこの中の平方根を展開公式の$ｘ$に見立てて計算します。

　ここからは、平方根の展開を具体例を用いて解説します。

①$(a+b)(c+d)=ab+ac+bc+bd$の場合

　このようにかっこの中の数がバラバラの時は、分配法則で展開しましょう。

　展開公式$(a+b)(c+d)=ab+ac+bc+bd$に則り、以下のように展開します。

　$(\sqrt{3}+5)(2\sqrt{3}+2)$

　$＝\sqrt{3}×2\sqrt{3}+\sqrt{3}×2+5×2\sqrt{3}+5×2$

　$＝6+2\sqrt{3}+10\sqrt{3}+10$

　$＝\color{red}{12\sqrt{3}+16}$

②$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$の場合

　2つのかっこの左側が、両方$\sqrt{6}$ですよね。

　展開公式$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$もかっこの左側が両方$ｘ$ですから、これを用いて展開できます。

　$\sqrt{6}$を$ｘ$に見立てて、公式を適用しましょう。

　$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$と同じように展開します。

　$(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-3)$

　$＝(\sqrt{6})^2+(2-3)×\sqrt{6}+2×(-3)$

　$＝6-\sqrt{6}-6$

　$=\color{red}{-\sqrt{6}}$

③$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$の場合

　かっこの2乗の式であれば、$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$の公式を適用できます。

　この場合、$\sqrt{3}$を$ｘ$と見立てて展開しましょう。

　$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$と同じように展開します。

　$(\sqrt{3}-2)^2$

　$＝(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×(-2)+(-2)^2$

　$＝3-4\sqrt{3}+4$

　$＝\color{red}{-4\sqrt{3}+7}$

④$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$の場合

　このように2つ並んでいるかっこの中の数が同じで、符号が違う場合にピンときて欲しいのが、展開公式$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$です。

　この問いの場合、展開公式$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$の$x$を$\sqrt{5}$、$a$を$2$と見て展開します。

　$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$と同じように展開します。

　$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$

　$(\sqrt{5})^2-2^2$

　$=5-4$

　　＝1

まとめ

　平方根の展開についてまとめます。

• 平方根の展開は、展開公式を用いて解く
• 平方根の展開は高校入試でよく出るので必ずマスターすること

　数学が苦手な人にとって、ルートの数が出てくるだけで計算を難しく感じてしまうものですよね。

　しかし、展開公式という既に習ったツールを使って解くことができるので、ルートの式の見た目に圧倒されずに一つ一つ確実に解けるようになりましょう。