【中3】平方根の展開は『展開公式』で解く！やり方4パターンを解説

　平方根の展開は、ルートの記号が使われている分、見た目がゴチャゴチャするので難しく感じますよね。

　でも平方根の展開は、中3の始めに習った展開公式を使えば意外と簡単に計算できるんです。

　この記事では、展開公式を用いた平方根の展開の解き方4パターンを解説します。

　その後で問題演習を行い、知識を定着させましょう！

　展開公式を忘れてしまった人は、まずは展開公式を確認してから平方根の展開に挑戦してくださいね。

そもそも平方根ってなに？

　平方根の意味から怪しい人は以下の記事から読んでみてくださいね。

【復習】展開公式4つ

　展開公式を忘れてしまったという人は、以下を確認して覚えてください。

　展開公式を覚えていない、または展開公式を覚えていても問題が解けないという人は、展開の復習から始めることをおすすめします。

平方根の展開のやり方4パターン

　平方根の展開では、かっこの中の平方根を展開公式の$ｘ$に見立てて計算します。

　ここからは、平方根の展開を具体例を用いて解説します。

①$(a+b)(c+d)=ab+ac+bc+bd$の場合

　このようにかっこの中の数がバラバラの時は、分配法則で展開しましょう。

　展開公式$(a+b)(c+d)=ab+ac+bc+bd$に則り、以下のように展開します。

　$(\sqrt{3}+5)(2\sqrt{3}+2)$

　$＝\sqrt{3}×2\sqrt{3}+\sqrt{3}×2+5×2\sqrt{3}+5×2$

　$＝6+2\sqrt{3}+10\sqrt{3}+10$

　$＝\color{red}{12\sqrt{3}+16}$

②$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$の場合

　2つのかっこの左側が両方$\bf{\sqrt{6}}$ですよね。

　展開公式$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$もかっこの左側が両方『x』ですから、これを用いて展開できます。

　$\color{red}{\sqrt{6}をｘに見立てて}$、公式を適用しましょう。

　$(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-3)$

　$＝(\sqrt{6})^2+(2-3)×\sqrt{6}+2×(-3)$

　$＝6-\sqrt{6}-6$

　$=\color{red}{-\sqrt{6}}$

③$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$の場合

　2乗の式であれば、$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$の公式を適用できます。

　この問いでは、$\color{red}{\sqrt{3}をｘに見立てて}$展開しましょう。

　$(\sqrt{3}-2)^2$

　$＝(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×(-2)+(-2)^2$

　$＝3-4\sqrt{3}+4$

　$＝\color{red}{-4\sqrt{3}+7}$

④$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$の場合

　2つ並んでいるかっこの中の数が同じで符号が違う場合にピンときて欲しいのが、展開公式$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$です。

　この問いでは、展開公式$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$の$\color{red}{xを\sqrt{5}}$、$\color{red}{aを2}$と見て展開します。

　$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$

　$=(\sqrt{5})^2-2^2$

　$=5-4$

　　＝1

【問題演習】平方根の展開

　ここからは平方根の展開を演習してみましょう。

　①について。

　展開公式$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$を用いて計算しましょう。

　$(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-1)$

　$＝(\sqrt{2})^2+(3-1)×\sqrt{2}+3×(-1)$

　$＝2+2\sqrt{2}-3$

　$=\color{red}{2\sqrt{2}-1}$

　②について。

　展開公式$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$を使いましょう。

　$(\sqrt{5}-2)^2$

　$＝(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×(-2)+(-2)^2$

　$＝5-4\sqrt{5}+4$

　$＝\color{red}{-4\sqrt{3}+9}$

　③について。

　展開公式$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$で計算します。

　$(-4+\sqrt{3})(4+\sqrt{3})$

　$=(\sqrt{3}-4)(\sqrt{3}+4)$

　$=(\sqrt{3})^2-4^2$

　$=3-16$

　　＝-13

まとめ

　平方根の展開についてまとめます。

• 平方根の展開は、展開公式を用いて解く
• 平方根の展開は高校入試でよく出るので必ずマスターすること

　数学が苦手な人にとって、ルートの数が出てくるだけで計算を難しく感じてしまうものですよね。

　しかし、展開公式という既に習ったツールを使って解くことができるので、ルートの式の見た目に圧倒されずに一つ一つ確実に解けるようになりましょう。