因数分解の応用問題の解き方!くくる、置き換えができれば楽勝です

 中3のあなた! 因数分解はマスターできましたか?

簡単な因数分解ならできるけど、応用はできない

くくる、置き換えがよくわからない!

 因数分解の応用問題で苦戦しているあなたのために、因数分解の応用問題を解くコツを解説します。

 因数分解の応用問題を解くコツは、公式を使えるように式を変形することです。

 そのために必要なのが『くくる』『置き換え』なのです。

 この記事を読めば、因数分解の応用問題をスラスラ解けるようになりますよ!

 まずは因数分解の公式を確認しましょう。

因数分解の公式①x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)②x^2 ± 2ax + a^2= (x ± a)^2③x^2-a^2 = (x+a)(x-a)

 因数分解の公式は必ず覚えておきましょう。

因数分解の応用問題を解くコツ~公式が使えるように式を変形する

 因数分解の応用問題といっても、公式を使うことは基礎問題と同じです。

 ただし、応用問題では初めから公式を当てはめることができません。

 因数分解の応用問題では、まずは公式を使えるように式を変形する必要があるのです。

因数分解の応用問題は、すぐには公式を使えない⇒初めに式変形が必要  基本問題 x^2+ 5x +6、x^2- 9⇒公式が使える  応用問題 mx^2+ 3mx + 2m、(x-2)^2+8(x-2) +12

【応用】因数分解の解き方

 因数分解の応用問題では、そのままでは公式が使えないので、公式を使えるように式を変形する必要があります。

 式を変形するときに必要なのが『くくる』と『置き換え』です。

式変形『くくる』

例題1

$mx^2+3mx+2m$を因数分解せよ

 このままでは因数分解の公式が使えないので、公式が使えるようにこの式を変形しましょう。

 さて、例題の式を見てなにか気づくことはないでしょうか?

3つの項に m があるから、

この式は m でくくれるね!

 式を見て、それぞれの項に共通する文字に気づきましょう。

 この問いでは文字mが共通しているので、まず初めに m でくくります。

例題1の解答⇓

mx^2+3mx+2m・・・mが共通=m(x^2+3x+2)・・・かっこの中を因数分解=m(x+1)(x+2)

例題2

$12x^2+60x+75$を因数分解せよ

くくれる文字がないぞ?

 くくれるのは文字だけではありません。

 この式では『数』をくくることができます。

係数が全部3の倍数だね!

$12x^2+60x+75$の12、60、75は全部3の倍数なので3でくくれます!

例題2の解答⇓

12x^2+ 60x + 75…3でくくる=3(4x^2+20x+25)…かっこの中を因数分解=3(2x+5)^2

式変形『置き換え』

例題3

$(x+1)^2+9(x+1)+14$を因数分解せよ

式が長いし、かっこもあるしよくわからない!

 このままの式では見づらいけど、置き換えを使うことで公式に当てはめやすくなります。

 初めからかっこのある式では置き換えが使えないかを考えます。

 この式を見てみると、かっこの中が$x+1$の部分が2カ所ありますよね。

湊音

$x+1$をAと置き換えてみよう

例題3の解答⇓

(x+1)^2+ 9(x+1) + 14x+1=Aとおく…これを必ず書く= A^2+ 9A + 14=(A + 2)(A + 7)={(x+1)+2}{(x+1)+7}…Aを元に戻す=(x+3)(x+8)

因数分解の応用問題を解くコツまとめ

◎因数分解の応用問題を解くコツ◎☆全ての項に共通の文字や数がある⇒くくる☆初めからカッコがある式⇒カッコの中身が同じなら置き換え

 応用問題といっても、因数分解の公式に当てはめて問題を解くのは基本問題と変りません。

 式が長かったり、複雑に見えたとしても『どうしたら公式を使えるかな?』と冷静に考え、因数分解の応用問題を解きましょう。

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