【高校数学Ⅰ】ルートの中が文字式の時のルートの外し方を解説

 高校の数学Ⅰではルートの中が文字式になることがあります。

中学までは余裕だったのに……

 数学Ⅰは中学の延長です。難易度が上がったとしても、中学内容をしっかり理解していれば高校の数学もマスターできますよ。

 ルートの中身が数字でも文字でも、ルートの外し方は同じです!

 ルートの中は必ず正の数になるので、ルートを外したときに正の数になるように処理すればいいのです。

この記事でわかること

  • ルートの中身が文字式の時のルートの外し方(例題あり!)
  • ルートの中身がマイナスの時のルートの外し方

高校2年生の数学(数学Ⅱ)ではルートの中がマイナスになる『虚数』を勉強しますが、高1の皆さんはまだ考えなくて大丈夫です。

 ここからはルートの基本的な外し方を踏まえて、ルートの中身が文字式の時のルートの外し方を解説します。

ルートを外すときは絶対値記号をつける

 ルートの中が正の数でも負の数でも、文字式のときも、ルートを外すときは中の数に絶対値記号をつけます。

ルートを外すときは中身の絶対値を答える
正の数:√5=|5|=5
負の数:√(-5)^2=|-5|=5
文字式:√a=|a|…これで終わり

 中学までで習った内容を踏まえて、次の問題を解いてみましょう。

$\sqrt{ (-3)^2 }$からルートを外してみよう。

$\sqrt{ (-3)^2 }=|-3|=-(-3)=3$

 ルートを外すときは絶対値記号をつけると意識しましょう。

 なぜなら、ルートの中は必ず正の数であると決まっているからです。

 これが意識できていないと、ルートの中身が文字になったときに混乱してしまいます。

$\sqrt{ (-3)^2 }=√9=3$

じゃダメなの?

 それでも正解です。

 多くの人はこの方法を中学で勉強したんじゃないかな?

 でも、このやり方で慣れてしまうと、高校数学でルートの中身が文字の時にルートの外し方を理解するのが難しくなってしまうのです。

 だから、ルートを外すときは絶対値記号をつけると覚えてください。

 ピンと来ていない人は、まずこちらの記事を読んでから戻ってきてね。

ルートを外すときは中の数の絶対値を答える

ルートの中身が文字の時は絶対値記号をつけて場合分け

 さて、ここで問題です。

 $\sqrt{ A^2 }$からルートを取るとどうなるでしょうか?

$\sqrt{ A^2 }=A$ じゃないの?

 実はこれ、間違いです。

 正解は、$\sqrt{ A^2 }=|A|$ です。

なんで絶対値記号がついたままなの?

 みなさんは、このAが正の数であると決めつけていないかな

 平方根の単元に限らず、特に条件の書いていない文字はあらゆる可能性を考えなくてはいけません。

 この場合は、Aが負の数の可能性です。

 Aの正負がわかっていないので、この問いでは絶対値記号をつけたままで止めておきます。

 正負がわかっている場合は、以下のように絶対値記号を外します。

$\sqrt{ A^2 }$のルートを外す

  • $A≧0$のとき
    $\sqrt{ A^2 }=|A|=A$
  • $A<0のとき$
    $\sqrt{ A^2 }=|A|=ーA$

A<0はなんで絶対値を外した後にマイナスが付くの?

 ルートの中身は必ず正の数と決まっています。

 $\sqrt{ A^2 }$のAが負の数だった場合、ルートを外したあとはAの絶対値(マイナスを取った数)を答えなくてはいけません。

中身が負の時の絶対値記号の外し方
√(-3)^2
=|-3|
=-(-3)
=3
絶対値記号の中が文字でもやり方は同じ!!

 この時と同じように、絶対値記号の中身が負の数(A<0)の時はAにマイナスをつけるのです。

 中学校で習ったままに、

 $\sqrt{ (-A)^2 }=\sqrt{A^2 }=A$

 のように考えてしまった人は要注意! 必ず絶対値での考え方を身につけておこう。

【例題】ルートの中身が文字式の時の外し方

 ルートの中が文字の時のルートの外し方を、例題を解きながら理解しましょう。

例題

$\sqrt{ a^2b^4 }$のルートを外そう。

ただし、$a<0、b>0$とする。

文字が2個あるし、bは4乗?

どうすればいいんだ?

 ルートを外すためには、ルートの中が$A^2$の形にならなければいけません。

 まず初めに、ルートの中身が2乗の形になるように変形しましょう。

 すると、ルートを外すことができるようになります。

ルートを外した後は忘れずに絶対値をつけよう!

√a^2b^4
=√(ab^2)^2
=|ab^2|

これで解答は終わりなの?

 これで終わりではありません。

 この問いでは$a<0、b>0$という条件があるので絶対値を外すことができます。

絶対値を外すためには、正の数が負の数かを判定しなきゃいけないね

絶対値記号を外すためには中身の正負を判定する
a<0、b>0なので、ab^2の正負は…ab^2<0
|ab^2|
=-(ab^2)
-ab^2

以上より、答えは-ab2です!

まとめ~ルートを外すときは中身の絶対値を答える!

 ルートの中が整数でも文字式でも、ルートの外し方は同じです。

 ルートを外すときはルートの中の数の絶対値を答える。

 この本質をしっかり覚えてくださいね。